[過去ﾛｸﾞ] 【大学数学の基礎】消去法と行列式を語るスレッド (35ﾚｽ)
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1: 2020/09/16(水)06:02 ID:Z56pvYB4(1/2) AAS
εδと∀∃を語るスレッド、に引き続き
線形代数の２大奥義、消去法と行列式について語ろうぜ
2: 2020/09/16(水)06:15 ID:Z56pvYB4(2/2) AAS
予告
・消去法が失敗する時
・ラスボス”行列式”、降臨
乞うご期待ｗ
3: 2020/09/17(木)19:32 ID:rDAX0vLI(1) AAS
行列式“束”として複式簿記を考えてみる。
4: 2020/09/21(月)11:32 ID:ygseaWNf(1/2) AAS
なぜ、複式簿記？
5(1): 2020/09/21(月)13:52 ID:roh1O8iZ(1) AAS
行列式は線形代数に必須じゃないという立場で書かれたLinear Algebra Done Rightというベストセラー本がありますね。
6: 2020/09/21(月)14:56 ID:ygseaWNf(2/2) AAS
>>5
そう来たかｗ
ま、行列式抜きにすることもできる
で、例えば、多変数の解析学で出てくるヤコビアンは、
結局、外積代数使ってやれよ、ってことになるかもな
7: 2021/03/10(水)19:08 ID:8b63ZB1o(1) AAS
大学入試は、行列式が亡くなり複素数平面が復活 した
多浪の人は負担が増えたな
数三Ｃ 統計復活か
行列式は大学でもやるから、高校で学ばないと大学に入ってから困るだろう
8: [ad-bc] 2021/06/28(月)02:11 ID:YVkKqOfC(1) AAS
この学校では行列を教えてるようだ：
外部ﾘﾝｸ:www.dmm.co.jp
>>無料サンプル動画をみてしまった‥
ｹｰ
毛ハミの定理が、黒板のやや左下に。彡
9: 2021/08/17(火)16:42 ID:3+UNf6gr(1) AAS
数値解析の課程に入れるべきだわ
一大分野
10: 2022/01/18(火)17:53 ID:ztcEobU4(1) AAS
常中間行列異常無し
11: 2022/02/02(水)15:00 ID:+cnefbBx(1/2) AAS
行列式
1 置換
n文字の置換σの総数はn!個ある
一対一変換
σ(1)=i1、σ(2)=i2、…、σ(n)=inであるときσ=
1 2 … n
i1 i2 … in
と書く。括弧は省略する。
123 132 213 231 312 321
231 213 321 312 123 132
省15
12: 2022/02/02(水)15:35 ID:+cnefbBx(2/2) AAS
定理1
(στ)ρ=σ(τρ) 結合法則
1σ=σ1=σ 単位元1n
σ σ^(-1)=σ^(-1) σ=1 逆元σ^(-1)
n文字の置換全体の集合Snは二項演算として積が定義され、結合法則が成り立ち、単位元を持ち、逆元を持つから群である。n次対称群という。有限群である。
定理2
・置換σがSn全体を重複無く動く時、逆置換σ^(-1)もSn全体を重複無く動く
・置換τを1つ固定する時、置換σがSn全体を重複無く動く時、置換の積(τσもστも)はSn全体を重複無く動く
証明
σ1≠σ2⇒σ^(-1)1≠σ^(-1)2であるから逆置換σ^(-1)は重複しない。個数はn!なのでSn全てを覆う。
省3
13: 2022/02/03(木)12:43 ID:q0Uk8FF5(1/3) AAS
定理3
証明
n変数多項式(n変数差積)
?=Π(xj-xi) (i<j)
f=f(i)に対してf^σ=f(σi)とする
?^σ(i)=±?(i)
特にτか互換ならば
?^τ(i)=-?(i)となる。
置換σが互換の積として2通りに表されるとする
σ=Πτ=Πρ
省8
14: 2022/02/03(木)20:38 ID:q0Uk8FF5(2/3) AAS
2 行列式
定義 Σsgn σ (Πx(iσi)) (σ∈Sn)
detA=Σsgn σ (Πa(iσi)) (σ∈Sn)
対角行列の行列式=Πa(ii)
特に単位行列の行列式=Π1(ii)=1
また零行列の行列式=Π0(i1)=0
ai=0の時、detA=0
tai=0の時、detA=0
detA=(-1)^(n(n-1)/2)Πx(i(n+1-i))
a^3+b^3+c^3-3abc
15: 2022/02/03(木)21:32 ID:q0Uk8FF5(3/3) AAS
定理1
detA=det(tA)
証明
定義より、
detA=ΣsgnσΠa(iσi) σ∈Sn
=Σsgn(σ^(-1))Πa(iσ^(-1)) σ^(-1)∈Sn
σ^(-1)(i)=k ⇔ i=σ(k)
=det(tA)
定理2
det(…1+2…)=det(…1…)+det(…2…)
省13
16: 2022/02/04(金)16:36 ID:9ZLCunPy(1) AAS
定理4 ai=ajの時、det(ai)=0
証明
以下の定理5により
detA=det(0i)=0
定理5 det(ai)=det(ai+caj)=det(aij)
証明
det(ai+caj)=det(ai)+cdet(aj)
=det(ai)+c×0=detA
17: 2022/02/05(土)17:28 ID:cmu+h9V2(1) AAS
定理6 行列式の特徴付け
証明
xj=Σxijeiとする。
F(xi)=F(Σxijei)
n重線型性を繰り返し使って
=ΣΣ…ΣΠx(ik, k)F(e(ik))
交代性を使って
=ΣΣ…ΣΠxsgnσF(ei)
=F(ei)det(xi)
ヴァンデルモンドの行列式
省2
18: 2022/02/09(水)16:24 ID:ST0bviM0(1/2) AAS
定理7
証明
F(xi)=det(Axi)=detAX。
n重線型性と交代性により
detAX=F(ei)det(xi)=detA・detX
定理8
detA=detA11・detA22
証明
detA=Σsgn σ Πa(iσ(i)) , σ∈S(m+n)
m+1以降が恒等置換になっているものだけを考えればよい。
省9
19: 2022/02/09(水)16:48 ID:ST0bviM0(2/2) AAS
3 行列式の展開
小行列式と余因子。
定理1
行列式の展開。
定理2
定理5
クラメルの公式
20: 2022/02/10(木)09:37 ID:jHugAxFm(1/2) AAS
自分で数値計算やらないと身に付かない分野
21: 2022/02/10(木)09:38 ID:jHugAxFm(2/2) AAS
プログラムに落とし込むのがなかなか難しい
22: 2022/02/11(金)01:37 ID:7nHKC3N8(1/2) AAS
行列
1 定義
積の定義、cik=Σaijbjk
=ai1b1k+ai2b2k+…+aimbmk
23: 2022/02/11(金)17:45 ID:7nHKC3N8(2/2) AAS
定理2
定理3
ともに行列の積の定義を用いる。
単位行列En=(δij)
クロネッカーの記号。
n項単位ベクトルei
積AB=(Abi)
x=(xi)=Σxiei 線型結合
一般に線型結合x=Σxiai
定理6
省5
24: 2022/02/17(木)14:29 ID:hw000AcH(1) AAS
3 正方行列 正則行列
行列の割り算、逆行列、群をなす
対称区分けが重要
対角行列、スカラー行列、
固有和、跡、トレイス、スプール、TrA。
定理 Trの線型性、Trの可換性
Tr(αA+βB)=αTrA+βTrB、
Tr(AB)=Tr(BA)
4 線型写像
f : Cn→Cmの線型写像fは行列Aで表されるものに限ることの証明。略。
省1
25: 2022/02/18(金)00:08 ID:vtDqIj3u(1) AAS
4 基本変形と階数
基本行列、
左基本変形、右基本変形
要として掃き出す
定理2
標準形への変形
26: 2022/03/19(土)01:32 ID:M7j4NT2J(1/2) AAS
定理3
正則性
5
1次方程式
係数行列と拡大係数行列
Aの階数、四次元空間内の直線と解釈出来る。
斉次1次方程式系、自明な解、自明でない解、エルミート積、txy'
共役線型性、正値性、
6
シュワルツの不等式、掛け算
省5
27: 2022/03/19(土)22:46 ID:M7j4NT2J(2/2) AAS
1
集合と写像
同値関係、A~B、相似。
B=P^(-1)AP。反射律、対称律、推移律。
同値関係による類。類別。
商集合。逆像は復数あることもあるし全く無いこともある。全逆像、{x|P(x)}。
一対一写像、上への写像、像、一対一対応、逆写像、自然な射影写像、
28: 2023/01/21(土)14:55 ID:hgAVMC7T(1) AAS
1ₙ 恒等置換、単位置換
σ⁻¹ 逆置換
τ￮σ=τσ=(132)(231)=(321)
1→1→3、2→3→2、3→2→1
(231)(132)=(213)
互換σに関してσ⁻¹=σ
結合法則、単位元の存在
逆元の存在、Sₙはn次対称群
置換σの符号sgn σ=1、-1
29: 2023/01/21(土)15:24 ID:R3M/LSZl(1) AAS
123 +1
132 -1
213 -1
231 +1
312 +1
321 -1
n≧2とする。偶置換全体をSₙ⁺、
奇置換全体をSₙ⁻とする。
∀τ∈Sₙ⁺に対して∃σ=(21)∈Sₙ⁻を掛けるとστ∈S⁻になるので|S⁺|≦|S⁻|
逆に∀ρ∈S⁻に対して∃σ=(21)∈S⁻を掛けるとσρ∈S⁺になるので|S⁻|≦|S⁺|よって|Sₙ⁺|=|Sₙ⁻|=n!/2
省1
30: 2023/01/21(土)16:56 ID:lQq7Q8nZ(1) AAS
(12)(23)(34)…(n-1 n)=(23…n 1)
n-1回。
同様にn-2、n-3、…1回置換をおこなうと(-1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ²
1234 +
1243 -
1324 -
1342 +
1423 +
1432 -
2134 -
省29
31: 2023/01/21(土)19:23 ID:D+sAbE8w(1) AAS
行列式Σ sgn(σ) Πx(i σ(i)) σ∈Sₙ
123+231+312-132-213-321
det(cA)=cⁿ|A|、 |ᵗA|=|A|
多重線型性。ある行または冽に関して和とスカラー倍の線型性が成り立つ
交代性。det(a(σ(i)))=sgn(σ)detA
例 B=(a₂ a₃ a₁)の時, |B|=σ|A|=|A|
多重線型性を持つ写像は定数倍の任意性を除きdetに等しい。
det(AB)=(detA)(detB)
対称な区分け
32: 2023/01/21(土)20:51 ID:IxubW4oe(1) AAS
ヴァンデルモンドの行列式
⊿=|ᵗ(1 x x² … xⁿ⁻¹)|
=Π{Π(xᵢ-xⱼ) (i<j)差積
0+1+…+(n-1)=n(n-1)/2
ₙC₂=n(n-1)/2
(x₁⁰ x₁¹ x₁² … x₁ⁿ⁻¹)
det(A −B、B A)=|det(A+iB)|²
A −B A+Bi −B+Ai A+Bi O
B A B A B A−Bi
(A+Bi)(A−Bi)=|det(A+Bi)|²
33: 2023/04/16(日)11:21 ID:VyBPsrRB(1) AAS
加法とスカラー乗法
a₁、a₂、…、aₖの線型結合
r₁a₁+r₂a₂+…+rₖaₖ
線型独立、線型従属、
余弦定理a²=b²+c²-2bccosx
正弦定理a=2Rsinx
(a|b)=|a||b|cosx
a･b≦|a||b| シュヴァルツの不等式
|a+b|≦|a|+|b| 三角不等式
S=|a×b|=absinx
省10
34: 2023/04/16(日)12:03 ID:ZD3gb4BW(1) AAS
1
(1) b-a=cより線型従属
(2) -1+4+0-2+2-0=3≠0より線型独立
(3) 2+3+0-4-0+1=2≠0より線型独立
(4) a=2(b-c)より線型従属
列Vectorが線型独立、線型従属
⇔detA≠0またはdetA=0
35: 2023/04/16(日)13:09 ID:JBRjfC6r(1) AAS
2
(1) 直線x=a+t(b-a) t∈ℝと表せる。
x=(1-t)a+tb=sa+tb s+t=1 (直線)
a, bは線型であるから表し方は一意的である。斜交座標系の成分として一意的である。
(2) 線分x=a+t(b-a) 0≦t≦1と表せる。x=sa+tb、s+t=1、0≦s≦1、0≦t≦1、s+t=1 (線分)
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