[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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754(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/11/04(水)21:38 ID:dk/KhN0S(7/8) AAS
>>751 補足
１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ）
２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて
0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
省11
755: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/11/04(水)21:39 ID:dk/KhN0S(8/8) AAS
>>754
つづき
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
省23
756(1): 2020/11/04(水)22:11 ID:26WHSv4q(12/16) AAS
>>754
>N‗n：＝{S‗n}＝{0,1,2,・・・,n}
間違ってます
N‗0:={}
N‗n:={N‗0,…,N‗n-1}
N_ω:=｛N_0,…}
>Singl_n：＝{・・・{0}・・・}
>（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
>ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
>これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
省6
761(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/11/05(木)07:32 ID:lG01yKE6(1/3) AAS
>>754
蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
∵ 最初は、空集合と公理しか使えないのだから
だから、ノイマンがやったことは、過剰に無限集合ができるが、下記のように
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
（原論文に当たったわけではないが、他にもそう書かれているのを見たので、多分確かだろう）
（参考）
外部ﾘﾝｸ:penguinitis.g1.xrea.com
PENGUINITIS Yuu Kasuga
ノート 数について (PDF)
省22
898: 2020/11/26(木)21:55 ID:bsElfVLa(6/7) AAS
>>754
>Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
> で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
まず集合列の極限の定義を示して下さい。
次にその定義に従ってNがNnの極限であることを示して下さい。
それらが示されない限りあなたの主張はナンセンスです。
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