[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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1(3): 2020/06/20(土)21:07 ID:OXXW5633(1/5) AAS
20200403の記者会見により、望月Inter-universal Teichmuller theory (abbreviated as IUT) （下記）は、新しい局面に入りました。
査読が終り、IUTが正しいことは、99％確定です。
このスレは、IUTを読むための用語集資料集スレとします。
議論は、本スレ Inter-universal geometry と ABC予想 53
2chｽﾚ:math
または
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
2chｽﾚ:math
でお願いします
（参考）
省4
2: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/20(土)21:09 ID:OXXW5633(2/5) AAS
つづき
（参考）
関連： 望月新一（数理研） 外部ﾘﾝｸ:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
星裕一の論文
(抜粋)
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） 外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
山下剛サーベイ 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp （Indexが充実しているので、IUT辞書として使える）
省11
3(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/20(土)21:10 ID:OXXW5633(3/5) AAS
つづき
守屋悦朗先生のABC予想って？ （１）＆(２)が出ました（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.f.waseda.jp
旧 「早稲田大学 教育・総合科学学術院 教育学部 数学科 守屋悦朗 研究室」
外部ﾘﾝｸ[html]:www.f.waseda.jp
ご近所講座 守屋悦朗
〜 数楽すうがくJoy of Mathematics と 佳算けいさんSmart Computations の散歩道 〜
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.f.waseda.jp
M-project 守屋悦朗
第34回 『ABC予想って（１）： 斬新・難解な証明の検証に8年もかかった！』 （高校生以上）20/04/26
省15
4: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/20(土)21:10 ID:OXXW5633(4/5) AAS
つづき
下記の PDF 数学の超難問「ABC予想」とは？
別冊Newton「数学の世界」 増補第3版 168 - 171 2019年11月 協力 小山信也 執筆 山田久美
これ分かり易いな
必見ですね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
researchmap 小山 信也 コヤマ シンヤ (Shin'ya Koyama)
画像ﾘﾝｸ[JPG]:researchmap.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:researchmap.jp
数学の超難問「ABC予想」とは？ 別冊Newton「数学の世界」 増補第3版 168 - 171 2019年11月 協力 小山信也 執筆 山田久美
省16
5: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/20(土)21:12 ID:OXXW5633(5/5) AAS
つづき
なお
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
Introduction to Inter-universal Teichm¨uller theory
Fucheng Tan RIMS, Kyoto University 2018
To my limited experiences, the following seem to be an option for people who wish to get to
know IUT without spending too much time on all the details.
・ Regard the anabelian results and the general theory of Frobenioids as blackbox.
・ Proceed to read Sections 1, 2 of [EtTh], which is the basis of IUT.
・ Read [IUT-I] and [IUT-II] (briefly), so as to know the basic definitions.
省13
6(1): 2020/06/20(土)21:53 ID:WRGOUlL+(1) AAS
せっかくなので日本語Wikipediaに翻訳が載っていない語を挙げてみる
ホッジシアター/ホッジ劇場/ホッジ舞台
LabCusp
絶対ガロア群
グロタンディーク予想
ジーゲルの定理
エルミート・ミンコフスキーの定理
単数定理
ザリスキの主定理
チェボタレフの密度定理
省12
7(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:06 ID:W0WIc7wX(1/18) AAS
>>6
どうもありがとう
>せっかくなので日本語Wikipediaに翻訳が載っていない語を挙げてみる
・ホッジシアター/ホッジ劇場/ホッジ舞台：星「IUT入門」目次 § 20. 加法的 Hodge 劇場、§ 25. 乗法的 Hodge 劇場、§ 26. Hodge 劇場と対数リンク
(加法的 Hodge 劇場と乗法的 Hodge 劇場の二種類ある？ ”Hodge 劇場と対数リンク”は、前述の2つを対数リンクで繋ぐ？)
・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv
(Note that each label class of cusps consists of two cusps).
We write LabCusp(†Dv) for the set of label classes of cusps of †Dv.
Note that LabCusp(†Dv) has a natural F*l-torsor structure (which comes from the action of F×l on Q in the definition of X in Section 7.1).
・絶対ガロア群：山下サーベイ P166 We write GK for the absolute Galois group of K for an algebraic closure K.
省7
8(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:06 ID:W0WIc7wX(2/18) AAS
>>7
つづき
・ジーゲルの定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において、整数点についてのジーゲルの定理 (Siegel's theorem on integral points) は、1929年のカール・ジーゲル (Carl Ludwig Siegel) の結果であり、与えられた座標系を持つアフィン空間で表現される、代数体 K 上定義された種数 g の滑らかな代数曲線 C に対し、g > 0 であれば、K の整数環 O の座標でC 上の点は有限個しかないという定理である。この結果を適用できる例として、モーデル曲線（英語版）(Mordell curve)がある。
この定理の証明は、ディオファントス近似からのトゥエ・ジーゲル・ロスの定理のあるバージョンとディオファントス幾何学（英語版）(diophantine geometry)からのモーデル・ヴェイユの定理とを結合することにより得られた。（ここで C のヤコビ多様体へ適用するためにヴェイユのバージョンが必要である。）それは、種数のみに依存しディオファントス方程式の任意の特別な代数的な形式に依らない、ディオファントス方程式についての最初の大きな結果であった。種数 g > 1 の場合は、現在、ファルティングスの定理に取って代わられた。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モーデルの定理（2 モーデル・ヴェイユの定理）
つづく
9(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:07 ID:W0WIc7wX(3/18) AAS
>>8
つづき
・エルミート・ミンコフスキーの定理：
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, especially in algebraic number theory, the Hermite?Minkowski theorem states that for any integer N there are only finitely many number fields, i.e., finite field extensions K of the rational numbers Q, such that the discriminant of K/Q is at most N. The theorem is named after Charles Hermite and Hermann Minkowski.
This theorem is a consequence of the estimate for the discriminant
√ {|d_{K}| >= {n^{n}/{n!}(π/4)^{n/2}
where n is the degree of the field extension, together with Stirling's formula for n!. This inequality also shows that the discriminant of any number field strictly bigger than Q is not ±1, which in turn implies that Q has no unramified extensions.
References
Neukirch, Jurgen (1999). Algebraic Number Theory. Springer. Section III.2 （多分訳本あり）
省5
10(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:08 ID:W0WIc7wX(4/18) AAS
>>9
つづき
・単数定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学において、ディリクレの単数定理(Dirichlet's unit theorem)は、ペーター・グスタフ・ディリクレ (Dirichlet 1846) による代数的整数論の基本的な結果である[1]。
ディリクレの単数定理は、代数体 K の代数的整数がなす環 {O}_{K} の単数群 {O}_{K}^x の階数を決定する。
単数基準（もしくは、レギュレイター(regulator)ともいう）は、どれくらい単数の「密度」があるかを決める正の実数である。
ヘルムート・ハッセにより（後日、クロード・シュヴァレーにより）、単数定理は一般化され、整数環の局所化での単数群の階数を決定するS-単数（英語版）(S-unit)の群の構造が記述された。また、ガロア加群構造(略)が決定された[2]。
次数が 2 以上の代数体の単数基準は、現在は多くの場合に計算機代数のパッケージがあるが、普通、計算することが非常に難しい。普通は類数公式を使い類数 h に単数基準をかけた積 hR を計算することは簡単であり、代数体の類数の計算の主な困難は単数基準を計算することにある。
つづく
11(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:08 ID:W0WIc7wX(5/18) AAS
>>10
つづき
・ザリスキの主定理：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オスカー・ザリスキ
主な業績は、ザリスキ位相の導入やザリスキの主定理（英語版）の証明を含む可換環論と代数幾何の融合である。
弟子に、ダニエル・ゴーレンシュタイン、広中平祐、ミハイル・アルティン、デヴィッド・マンフォード、ロビン・ハーツホーンら著名な数学者がたくさんおり、優れた指導者でもあった。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Zariski's main theorem
In algebraic geometry, Zariski's main theorem, proved by Oscar Zariski (1943), is a statement about the structure of birational morphisms stating roughly that there is only one branch at any normal point of a variety. It is the special case of Zariski's connectedness theorem when the two varieties are birational.
省5
12(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:09 ID:W0WIc7wX(6/18) AAS
>>11
つづき
・チェボタレフの密度定理：
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Chebotarev's density theorem
Chebotarev's density theorem in algebraic number theory describes statistically the splitting of primes in a given Galois extension K of the field {\displaystyle \mathbb {Q} of rational numbers. Generally speaking, a prime integer will factor into several ideal primes in the ring of algebraic integers of K. There are only finitely many patterns of splitting that may occur. Although the full description of the splitting of every prime p in a general Galois extension is a major unsolved problem, the Chebotarev density theorem says that the frequency of the occurrence of a given pattern, for all primes p less than a large integer N, tends to a certain limit as N goes to infinity. It was proved by Nikolai Chebotaryov in his thesis in 1922, published in (Tschebotareff 1926).
Contents
1 History and motivation
2 Relation with Dirichlet's theorem
3 Formulation
省5
13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)08:09 ID:W0WIc7wX(7/18) AAS
>>12
つづき
Important consequences
The Chebotarev density theorem reduces the problem of classifying Galois extensions of a number field to that of describing the splitting of primes in extensions. Specifically, it implies that as a Galois extension of K, L is uniquely determined by the set of primes of K that split completely in it.[6] A related corollary is that if almost all prime ideals of K split completely in L, then in fact L = K.[7]
外部ﾘﾝｸ:tsujimotterはてなぶろぐ/entry/how-to-use-chebotarev-density-theorem
tsujimotterのノートブック
2018-12-13
ガロア表現とChebotarevの密度定理の使い方
動機と参考文献
きっかけは以前から勉強していた 岩澤理論 でした。どうしても理解したい定理 があって，その証明にガロア表現が出てきます。
省5
14(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:13 ID:W0WIc7wX(8/18) AAS
・「微分」＆「小平・スペンサー写像」
下記ABC予想入門 PHP 黒川＆小山
P205に スピロ予想
”一般の関数体版でも「微分」が「小平・スペンサー写像」として表れてくる。
望月氏の論文は、「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成するところが、最大の要点
（第4章末尾のコラムを参照）であり
ここに数百ページ（以前のものを合わせると千ページ）に達する
壮大な数学宇宙が広がっている。”とあります。
（参考）
外部ﾘﾝｸ[php]:www.php.co.jp
省17
15(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:13 ID:W0WIc7wX(9/18) AAS
>>14
つづき
なかなか、良い本です。でも、今の数学科２年生ではきついかもね
さて、”「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成する”は、下記の北大 中村 郁先生、ご参照
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
中村 郁のホームページです．北海道大学
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
小平の変形理論と最近の発展, 数学セミナー, 1997年12月(PDF FILE)
（小平の変形理論とその後の発展）北海道大学 中村 郁
1 はじめに
省22
16(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(10/18) AAS
>>15
つづき
定理 1 (小平-Nirenberg-Spencer1958/p.910) M をコンパク
トな複素多様体とし，H2(ΘM)=0 と仮定する。このとき，
N 個の parameter t1，・・・，tN に依存したコンパクトな複素
多様体の族 {M(t1, ・・・ , tN )} が存在して，どんな M の微少変
形も {M(t1 ・・・tN )} のなかに同型なものがある。ただし，N
は複素ベクトル空間 H1(ΘM ) の次元，M(0, ・・・ , 0) = M。
∂M(t)/∂t は一次の幾何学的微分です。そして，H2(ΘM) =
0 は Taylor 級数で２次以上の項がないという条件に相当し，定
省16
17(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(11/18) AAS
>>16
つづき
3 写像の変形理論
正標数でも同様の理論を作り，埋め込みの写像 π : S →
M の変形を考えることで，応用が増えます。実際，森重文
(1979/1982) はまず，M が Fano 多様体 (P2 を高次元へ拡張
したもの) のとき，かってにとった曲線をもとに，正標数特
有の技巧 (Frobenius 写像) と正標数の写像の変形理論によっ
て，写像を変形し，曲線をついに折れるまで曲げて，標数 0
のときも含め有理曲線 P1 を構成しました。さらに，得られ
省17
18(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:14 ID:W0WIc7wX(12/18) AAS
>>17
つづき
5 Donaldson 理論
ここで，Donaldson 理論についてほんのすこしだけ説明し
ます。簡単のため，X を単連結な実 4 次元可微分多様体，MX
を X に付随したある空間の反自己双対接続 (一般化された微
分，これをインスタントンと呼ぶ) のモジュライ空間としま
す。モジュライ空間というのは，この場合はインスタントン
を全部集めた空間のことです。A ∈ MX をひとつのインスタ
ントン，A + α をその近くのインスタントンとしたとき，α
省16
19(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:15 ID:W0WIc7wX(13/18) AAS
>>18
つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
モジュライと変形理論, 数学の楽しみ, no.20, 2000年８月 (PDF FILE)
P17
小平-Spencer の変形理論とは何か？ 3 次曲線の場合に考えてみる。まず 3
次曲線をひとつとる:
前節と同様に微少変形のコホモロジー群を調べればよい。
答えを同次式によって表示すると、(17) と同様に記号の意味をとることで
すべての同次 3 次式/(xi∂H/∂xj )i,j=0,1,2 (20)
省21
20: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:15 ID:W0WIc7wX(14/18) AAS
>>19
つづき
小平-Spencer の理論がモジュライ理論の基礎というばかりでなく、
小平Spencer の理論の底にある考え方は、現在幅広い応用を示しつつある。
それはすでに数学の基本的な考察手段となった感がある。例えば、群や代数の表
現の変形は、数論、数理物理など、今後いろいろな分野で注目されていくで
あろうが、これは小平-Spencer の理論にはなかったものである。という以上
に、現在われわれが出会う変形理論のほとんどは、本来の小平-Spencer の理
論の中にはなかったものである。変形理論は必要性のゆえに、次々と研究者
によって導入され拡大されてきたのである。これについては、数学セミナー
省8
21(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:32 ID:W0WIc7wX(15/18) AAS
>>7
>・LabCusp：山下サーベイ P224 For v ∈ V, a label class of cusps of †Dv is the set of cusps of †Dv lying over a single non-zero cusp of †Dv
(Note that each label class of cusps consists of two cusps).
LabCusp 補足
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
P82
テータ関数に代入するべき点は, LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベ
ル付けされます. Fl の各元での特殊値に関する考察から, F×l = Fl \ {0} でラベル付けさ
れた点での特殊値によって (b) が得られ, そして, 0 ∈ Fl でラベル付けされた点での代入
省8
22(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:32 ID:W0WIc7wX(16/18) AAS
>>21
つづき
また, (c) の多輻的な表示は, その “加法的 Hodge 劇場” による加法的対称性を用い
たラベルの管理を破壊してしまわないようなラベルの管理のもとで実現されなければなり
ません. その上, “加法的 Hodge 劇場” に現れる大域的な対称性と多輻的に表示されるべ
き (c) の非両立性に, ラベルの管理を対応させなければなりません. (§21 の議論を参照.)
LabCuspK〜= F×l/{±1} という集合は, テータ関数の非単数的特殊値に対する自然なラベ
ルの集合であり, この集合に対する乗法的対称性は上述のラベルの管理に関連します. こ
の乗法的/数論的な対称性をもとにした, 数体やその上の数論的直線束たちと, テータ関数
の代入点との間の適切な関連付けが, §21 から §25 までで構成される “乗法的 Hodge 劇
省6
23(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:33 ID:W0WIc7wX(17/18) AAS
>>22
つづき
加法的/幾何学的な対称性をもとに構成された “加法的 Hodge 劇場” と, 乗法的/数論
的な対称性をもとに構成された “乗法的 Hodge 劇場” を (対称性の出自の観点からは “非
従来的な形” で) 貼り合わせることで得られる概念が, D-Θ±ellNF Hodge 劇場や Θ±ellNF
Hodge 劇場です. (§26 の議論を参照.) そして, 2 つの Θ±ellNF Hodge 劇場を対数リンク
(§9 や §26 を参照) によって結び付けることで, ある単数的乗法的加群を, (a) というコン
パクトな加法的加群に変換することができます. しかも, それは (b) や (c) の “入れ物”
となります. (§8 や §9 の議論を参照.) 一方, “対数写像は設定の環構造に依存する” とい
う事実によって, (単一の) 対数リンクによる (a) という “入れ物” は, Θ リンクと呼ばれ
省13
24: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/21(日)10:33 ID:W0WIc7wX(18/18) AAS
>>23
つづき
最初にこの宇宙際 Teichm¨uller 理論を勉強したときに筆者が持った印象は, “このよ
うな議論が許されるならば, 何でもやりたい放題ではないか” という方向性のものでした.
しかしながら, 更に勉強を進めたり, あるいは, 類似的な議論を模索していく内に, 理論に
対する印象は, “理論における様々な対象の構成は, もう少しで崩れてしまいそうな辛うじ
て保たれている均衡の上に成り立っており, そう簡単にはこの理論の真似はできない” と
いう, 最初の印象の逆を向いたものに変化してしまいました.
星 続・宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2018) （Indexあり） 外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
P214
省11
25(1): HN設定age（＾＾； 2020/06/22(月)13:25 ID:dqlDH/E2(1) AAS
HN設定age（＾＾；
26: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/22(月)23:40 ID:Ds9PXTTk(1) AAS
AA省
27: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)00:02 ID:nKssTr8/(1/5) AAS
外部ﾘﾝｸ[html]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
斎藤 毅のホームページ
外部ﾘﾝｸ[html]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
斎藤 毅 講演
2011 中央大学数学科談話会 フェルマーの最終定理 ー その証明の主役たち 4月22日(金) 16時30分から17時30分 中央大学後楽園キャンパス６号館３階 6302教室
が下記かも
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
Fermat’s Enigma
（IUTに対する目を慣らすために）
28: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)00:09 ID:nKssTr8/(2/5) AAS
1 点抜き楕円曲線が、IUTに出てきます
外部ﾘﾝｸ:www.math.sci.hokudai.ac.jp
数学総合 若手研究集会INDEX
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hokudai.ac.jp
1 点抜き楕円曲線の同型類の幾何的基本群による復元
京都大学大学院 理学研究科 数学・数理解析専攻 数理解析系
更科明 (Akira SARASHINA)
概要
1980 年代、Grothendieck により素体の有限次拡大体上の双曲的曲線の幾何が (ある意味
で)´etale 基本群から復元されるという予想が提唱された。この予想は中村博昭氏、玉川安騎男氏
省8
29: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)00:18 ID:nKssTr8/(3/5) AAS
楕円曲線の解説
見ておいた方が良いと思う
外部ﾘﾝｸ:www.imetrics.co.jp
S. Kusafusa
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.imetrics.co.jp
楕円曲線とモジュラー形式
Elliptic curves and modular form
楕円曲線が少ないという概念は、楕円曲線の全体からなる「楕円曲線のモジュ
ライ空間 moduli space と呼ばれる集合を理解して初めて成立する。
モジュライ空間は、楕円曲線の集合に、ある数学的な解釈をいれたものである。
省10
30(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)00:26 ID:nKssTr8/(4/5) AAS
”「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）”
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.comp.tmu.ac.jp
山形大学理学部数理科学科 2014 年度後期「数理情報特選 F/数理科学特別講義 E」講義資料 1
計算する立場からの楕円曲線論入門
The arithmetic of elliptic curves from a viewpoint of computation
横山 俊一1（Shun’ichi Yokoyama）
九州大学大学院 数理学研究院 / JST CREST
P6
特異点は 2 種類存在する. 一つは y
2 = x3 のように尖った部分に現れるもので, これをカスプ（cusp）
省9
31: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)00:26 ID:nKssTr8/(5/5) AAS
>>30
つづき
定義 2.33. Ep が Fp 上の楕円曲線となる（i.e. ?(Ep) ?= 0）時, E は p で良い還元を持つ（has good
reduction at p）と呼ぶ. 逆に Ep に特異点が出現し, Fp 上の楕円曲線でなくなる（i.e. ?(Ep) = 0）
時, E は p で悪い還元を持つ（has bad reduction at p）と呼ぶ.
補足 2.34. 上の状況で, それぞれの p を「良い素数/悪い素数」（good prime/bad prime）と呼ぶ事
もある. ?(E) の素因子のリストは, 悪い素数のリストに一致する.
更に, 悪い還元の時には Ep に特異点が出現するが, その特異点には 2 種類あった事を思い出そう
（命題 2.8 及びその直前の文脈. c4 が 0 か否かでノード型かカスプ型に分かれるのであった）. その
ため, 悪い還元を更に 2 つに分類する.
省6
32: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/23(火)09:44 ID:ack77tVS(1) AAS
>>25
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HN設定age（＾＾；
33(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)18:25 ID:o/pgoU2Q(1/3) AAS
下記の中村博昭先生、いいわ（＾＾
外部ﾘﾝｸ:core.ac.uk
(1999年度北大集中講義レクチャーノート)
ガロア・タイヒミュラ一群のLEGO理論
中村博昭(述) Series #65. August 2000
(抜粋)
はしがき
このノートは、1999 年6 月7 日~6 丹11 日に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
しでまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
(タイヒミュラーモジュラー群)たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
省27
34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)18:26 ID:o/pgoU2Q(2/3) AAS
>>33
つづき
写像類群Γg，o(の超楕円パート)の間に自然な対応が存在するが、双方の曲面上のキルト分
解を両立的にとっておくと、これに関するガロア表現もきれいに対応する形になる。
もうすこし詳しくいうと、曲面上のcircle cに対して、Dehn twistとよばれる標準的な写像類 Dc∈ Γg，nが定まることがよく知られている:
有限個のDehn twistの間だけで関係式を完全に書き下そうとすると、
結構長いwordがでできてしまい、それのチェックは簡単でない。
ところが、すべて
のDehn twists (無限個)を生成元として4タイプの比較的単純な関係式(commutativity，
braid，doughnut，lantern)で済ませるGervais，Luoらの結果を用いることにより、正の各
省18
35: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)18:27 ID:o/pgoU2Q(3/3) AAS
>>33
なにが良いかというと
望月先生のIUTの和文解説に出てくる絵と類似の絵が沢山出てくることと
IUTで使われている概念の 多分類似概念が多数出てくるので、大変参考になる
ざっと見ておくと、目が慣れるでしょうね（＾＾；
36(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)23:19 ID:b5EBywaq(1/4) AAS
メモ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
2chｽﾚ:math
61 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/06/18(木) 17:17:22.36 ID:LPUPFt8f [2/4]
>>57 補足
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Szpiro's conjecture
Modified Szpiro conjecture
The modified Szpiro conjecture states that: given ε > 0,
there exists a constant C(ε) such that for any elliptic curve E defined over Q with invariants c4, c6 and conductor f (using notation from Tate's algorithm),
省12
37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)23:20 ID:b5EBywaq(2/4) AAS
>>36
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
2chｽﾚ:math
62 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/06/18(木) 17:18:11.72 ID:LPUPFt8f [3/4]
>>61
つづき
Contents
1 Notation
2 The algorithm
3 Implementations
省17
38(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)23:22 ID:b5EBywaq(3/4) AAS
メモ
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 47
2chｽﾚ:math
110 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 投稿日：2020/05/28(木) 15:28:24.71 ID:LOTC0/EA
下記 中村 円分指標 Tate 加群 Z?(1)= 星 円分物 Tate 捻り “Zb(1)”か（＾＾；
前スレ46 2chｽﾚ:math より
外部ﾘﾝｸ:mathsoc.jp
日本数学会 代数学分科会 ホームページ
外部ﾘﾝｸ[html]:mathsoc.jp
代数学シンポジウム関連情報
省18
39: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/24(水)23:26 ID:b5EBywaq(4/4) AAS
>>38
つづき
前スレ46 2chｽﾚ:math より
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
宇宙際Teichmuller理論入門(On the examination and further development of inter-universal Teichmuller theory)
星 裕一郎 Aug-2019 数理解析研究所講究録別冊 B76
(抜粋)
P83
§ 1. 円分物
この §1 では, その対象の輸送の遂行の際に重要な役割を果たす 円分
省20
40(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/25(木)07:22 ID:odZewMPY(1) AAS
下記 （2015-02）は、目を通しておくと良いと思う
外部ﾘﾝｸ[html]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
望月 出張・講演
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
P4 辺りに q^(j^2)の話が出てくる
41(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/26(金)06:45 ID:zl2qUDG1(1/4) AAS
>>40
"Hodge Arakelov 基本定理 ガウス積分"
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ホッジ・アラケロフ理論
楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論は、アラケロフ理論（英語版）(Arakelov theory)のフレームワークで考える p-進ホッジ理論（英語版）(p-adic Hodge thory)の楕円曲線についての類似理論である。ホッジ・アラケロフ理論は、 Mochizuki (1999) で導入された。
望月の主要な結果であるホッジ・アラケロフ理論の比較定理は、（大まかには）標数 0 の滑らかな楕円曲線の普遍拡大上の次数が d 未満の多項式の空間は、自然に d-捩れ点上の函数の d^2-次元空間に（制限によって）同型となるという定理である。
ド・ラームコホモロジーを複素多様体の特異コホモロジーや、p-進多様体のエタール・コホモロジーに関連付けるコホモロジー論の比較定理のアラケロフ理論の類似物である。
Mochizuki (1999) と Mochizuki (2002a)で、彼は数論的小平・スペンサー写像やガウス・マーニン接続（英語版）(Gauss-Manin connection)が、ヴォイタ予想やABC予想などに重要なヒントを与えるのではないかと指摘している。
省9
42: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/26(金)06:46 ID:zl2qUDG1(2/4) AAS
>>41
つづき
In some sense, the most fundamental outstanding problem left unsolved in
[Mzk1] is the following:
How can one get rid of the Gaussian poles (cf. §1)?
For instance, if one could get rid of the Gaussian poles in Theorem A, there
would be substantial hope of applying Theorem A to the ABC (or, equivalently,
Szpiro’s) Conjecture.
Section 2: The Theta Convolution
In fact, returning to the theory of the Gaussian on the real line, one may
省10
43(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/26(金)07:30 ID:zl2qUDG1(3/4) AAS
参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
p進数
(抜粋)
有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。
「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。
なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。
つづく
44: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/26(金)07:32 ID:zl2qUDG1(4/4) AAS
>>43
つづき
概要
有理数体 Q から実数体 R を構成するには、通常の絶対値の定める距離 d∞(x, y) = | x - y | に関して有理数体を完備化するのであった。
それに対し、p 進付値より定まる距離（p 進距離）dp によって有理数体を完備化したものが p 進数体 Qp である。p 進数と実数は異なる特徴を持つ別々の数体系である一方で、数論においては極めて深い関係を持つ対象であると捉えられる。
有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する。
p 進数体 Qp における小数展開の類似物は p 進展開である。p 進数の中で考えた有理数は p の高い冪を因数に含めば含むほど小さいと考えられ、p 進数の p 進展開は、p 進整数（ぴーしんせいすう、p-adic integer）を可算無限桁の整数と捉える見方を与える。
これにより、実数の場合と並行して、p 進数は有理数の算術まで込めた拡張であることを見ることができる。
実数体 R と p 進数体 Qp をひとまとまりにしたアデールの概念が扱われることもある。
有理数体のアデール AQ は簡単に言えば、実数体 R と全ての素数 p にわたる p 進数体 Qp との位相まで込めた直積である。
省5
45(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)18:06 ID:jEjJjPRO(1/10) AAS
「タイヒミュラー空間の基礎のキソ」なるほど
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
タイヒミュラー空間の基礎のキソ
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規
第47回函数論サマーセミナー
2012年8月27日
46: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)18:20 ID:jEjJjPRO(2/10) AAS
これは、あまり関係なさそうだが、貼る
メモ
「複素力学系におけるラミネーション理論 変形と剛性」
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
複素力学系におけるラミネーション理論 変形と剛性
1 December 2009
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
川平 友規
47(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)18:35 ID:jEjJjPRO(3/10) AAS
外部ﾘﾝｸ:bluexlab.tokyo
bluexlab
2019.10.03 2019.10.04MATH
パーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）とは？理論の概要と参考文献をご紹介【数論幾何の天才Peter Scholze氏の理論】
(抜粋)
「パーフェクトイド空間って一体何？」、「最近、数論幾何の分野でよく聞くパーフェクトイド空間って？」
こんな疑問に大学院でパーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）を研究していた僕がお答えします。
※このブログの他の数学関連の記事と同じように、この記事でも数学的な正確さよりも”なんとなくの雰囲気”重視で書いているため、数学的に不正確な表現や定義があることはご了承ください。
パーフェクトイド空間（Perfectoid spaces）への準備
コホモロジーを使うことで、昔から考えられている数学の問題を”コホモロジーの言葉に変換”して考え直すことができたり、代数幾何だけでなく整数論など他の数学の分野にも応用することができます。
省14
48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)18:36 ID:jEjJjPRO(4/10) AAS
>>47
つづき
パーフェクトイド空間を使うと、コホモロジーが調べやすくなると言いましたが、これはどういう事か簡単に説明します。
冒頭で体の標数の話を出しましたが、代数幾何や数論幾何で図形を考えるとき（＝多項式を考えるとき）、その多項式の係数がどの標数の体のものかというのが重要になってきます。
つまり、標数0の体係数の多項式を考えているのか？ それとも標数pの体係数の多項式を考えているのか？ ということが大事になるということです。
省12
49(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)21:49 ID:jEjJjPRO(5/10) AAS
>>45 追加
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
複素解析特論 I （タイヒミュラー空間入門）
2011年度前期，大学院生対象．
シラバスおよび講義ノートはこちらです：
(第１〜６回） 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
(第７回〜第１３回） 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
第13回(2011/7/26) 正則2次微分とタイヒミュラーの定理
省11
50: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)21:50 ID:jEjJjPRO(6/10) AAS
>>49
つづき
第8回(2011/6/14) 一意化定理
任意のリーマン面がごく簡単な単連結リーマン面 を自己同型で割った空間としてモデル化できることを示しました．
第7回(2011/6/7) リーマン面の基本群と普遍被覆
与えられたリーマン面にたいし，基本群と普遍被覆（面） を定義しました．とくに，普遍被覆が 連結かつ単連結リーマン面になることを確認しました．
第6回(2011/5/31) ベルトラミ方程式と擬等角写像
まずACL性を使って擬等角写像を定義し，その性質を解説しました． ベルトラミ方程式の解の存在，一意性，連続性（ベルトラミ微分に 解が連続に依存すること）を定理の形で述べました． （時間の都合で，このへんの話はほとんど証明なしで使います．）
第5回(2011/5/24) ベルトラミ微分とベルトラミ方程式
空間のなかに埋め込まれた滑らかな曲面をリーマン面とみなせるか， という問題（ガウス）を紹介し， ベルトラミ方程式，ベルトラミ微分の概念を導入しました．
省10
51(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)23:01 ID:jEjJjPRO(7/10) AAS
”Teichmuller space” 良く纏まっている
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Teichmuller space
The geometric vein in the study of Teichmuller space was revived following the work of William Thurston in the late seventies, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface.
Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmuller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.
Quadratic differentials and the Bers embedding
Main article: Schwarzian derivative
Main article: Bers slice
画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
Image of the Bers embedding of a punctured torus' 2-dimensional Teichmuller space
省3
52(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)23:02 ID:jEjJjPRO(8/10) AAS
>>51
つづき
In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.
The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces, in particular their dimensions ("number of parameters on which the complex structure depends").
Genus 1
Main article: Moduli stack of elliptic curves
つづく
53: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)23:03 ID:jEjJjPRO(9/10) AAS
>>52
つづき
Boundary geometry
Here the vertices of the graph correspond to irreducible components of the nodal curve, the labelling of a vertex is the arithmetic genus of the corresponding component, edges correspond to nodes of the curve and the half-edges correspond to the markings.
The closure of the locus of curves with a given dual graph in {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}\overline {{\mathcal {M}}}_{{g,n}} is isomorphic to the stack quotient of a product {\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}\prod _{v}\overline {{\mathcal {M}}}_{{g_{v},n_{v}}} of compactified moduli spaces of curves by a finite group.
In the product the factor corresponding to a vertex v has genus gv taken from the labelling and number of markings {\displaystyle n_{v}}{\displaystyle n_{v}} equal to the number of outgoing edges and half-edges at v. The total genus g is the sum of the gv plus the number of closed cycles in the graph.
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Moduli stack of elliptic curves
(引用終り)
以上
54: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/27(土)23:11 ID:jEjJjPRO(10/10) AAS
>>49
下記は参考になるね（いま手元にあるが）
外部ﾘﾝｸ:www.math.titech.ac.jp
川平 友規 Tomoki Kawahira / Department of Mathematics / Tokyo Institute of Technology
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号〜2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて， 後半はリーマン面について解説しました．
第12回( 2015年3月号) 群で作るリーマン面
● 1次分数変換の部分群を複素平面に作用させて， トーラス，格子トーラス， 種数 2 の閉リーマン面を具体的に構成します．
55: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)13:58 ID:bfBvt+85(1/6) AAS
Inter-universal geometry と ABC予想 53 より
2chｽﾚ:math
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
J-STAGEトップ/電子情報通信学会 基礎・境界ソサイエティ Fundament .../6 巻 (2012) 3 号/書誌
ごあいさつ
ABC予想と最後の審判
? Inter-Universalな世界観 ?
白木 善尚
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
省8
56: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)16:25 ID:bfBvt+85(2/6) AAS
>>51
>画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
>Image of the Bers embedding of a punctured torus' 2-dimensional Teichmuller space
この図と川平 友規 外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
基礎講座・複素関数（『数学セミナー』2014年4月号〜2015年3月号）
複素関数論の基礎から初めて， 後半はリーマン面について解説しました．
第12回( 2015年3月号) 群で作るリーマン面
のP80 図7が似ている
基本は同じかも
57(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)17:20 ID:bfBvt+85(3/6) AAS
参考
外部ﾘﾝｸ:waseda.pure.elsevier.com
外部ﾘﾝｸ[html]:www.ams.org
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ams.org
CONFORMAL GEOMETRY AND DYNAMICS
An Electronic Journal of the American Mathematical Society
Volume 8, Pages 115?142 (June 8, 2004)
S 1088-4173(04)00108-0
BERS EMBEDDING OF THE TEICHMULLER SPACE ¨
OF A ONCE-PUNCTURED TORUS
省22
58: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)17:20 ID:bfBvt+85(4/6) AAS
>>57
つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.maths.gla.ac.uk
TOY TEICHMULLER SPACES OF REAL DIMENSION 2:
THE PENTAGON AND THE PUNCTURED TRIANGLE
YUDONG CHEN, ROMAN CHERNOV, MARCO FLORES, MAXIME FORTIER BOURQUE,
SEEWOO LEE, AND BOWEN YANG
ABSTRACT. We study two 2-dimensional Teichmuller spaces of surfaces with
boundary and marked points, namely, the pentagon and the punctured triangle.
We show that their geometry is quite different from Teichmuller spaces of closed
省7
59: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)23:08 ID:bfBvt+85(5/6) AAS
メモ貼る
大学のテキストなどが望ましいが、とりあえず
外部ﾘﾝｸ:tkenichi.hatenablog.jp
tkenichi の日記
2014-01-12
穴あき曲面の展開
閉曲面（いわゆる境界のないコンパクトな曲面）の分類はよく知られていて、曲面に切れ目を入れて展開した多角形を張り合わせることで表現することができる。向き付け可能な場合は球面またはg個のトーラスの連結和として表すことができ、多角形の張り合わせで表現する場合は、以下のようになる。
向き付け不可能な場合は、射影空間のk個の連結和としてあらわすことができる。多角形の張り合わせで表現する場合は、以下のようになる。
さて、閉曲面から開円板を取り除いた境界つきの曲面の多角形表現を考えよう。ここでは、展開した多角形の頂点（張り合わせたときに曲面上の１点になる）を含むように開円板をとる。すなわち、開円板の境界が展開した多角形のすべての辺と交叉する場合を考える。向き付け可能な場合は以下のようになる。
省7
60(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/28(日)23:13 ID:bfBvt+85(6/6) AAS
メモ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ポワンカレ計量
二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。
二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。
ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、
もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、
このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。
いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。
目次
省12
61(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/29(月)07:17 ID:zK2xtwvj(1/3) AAS
>>60
追加
これは知っておいた方がいいかも
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ポワンカレ計量
(抜粋)
3 平面から円板への等角写像
ポアンカレ上半平面はポアンカレ円板上にメビウス変換
w=e^{iΦ} {z-z_0}/{z-z￣_0}
によって等角的に写すことができる。ここで w は、上半平面上の点 z に対応する単位円板上の点である。
省5
62(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/29(月)07:29 ID:zK2xtwvj(2/3) AAS
上半平面 H は、良く出てくる
双曲幾何と関連しています
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ポワンカレの上半平面モデル
半平面模型の星型正七角形による敷詰
画像ﾘﾝｸ[png]:upload.wikimedia.org
非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、英: Poincare half-plane model）は、上半平面（以下 H と記す）にポワンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。
名称はアンリ・ポワンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポワンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学に無矛盾等価（英語版）であることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。
省7
63: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/29(月)07:30 ID:zK2xtwvj(3/3) AAS
>>62
つづき
上半平面に一次分数変換で作用し、かつその双曲距離を保つリー群としては、近しい関係にあるものが4つ存在する。
・特殊線型群 SL(2, R): 成分が実数の 2 × 2-行列でその行列式が 1 であるもの全体の成す群。多くの文献で、実際には PSL(2, R) を意味するところをしばしば SL(2, R) と言っている場合があるので注意。
・群 S*L(2, R): 成分が実数の 2 × 2-行列でその行列式が 1 または ? 1 であるもの全体の成す群。SL(2, R) はこの群の部分群である。
・射影特殊線型群 PSL(2, R) = SL(2, R)/{±I}: SL(2, R) に属する行列を単位行列の ±1-倍を掛ける違いを除いて考えた同値類全体の成す群。
・群 PS*L(2, R) = S*L(2, R)/{±I} = PGL(2, R): 群 S*L(2, R) に属する行列を同様に単位行列の ±1-倍を掛ける違いを除いて考えた同値類全体の成す群はそれ自身射影群である。PSL(2, R) は指数 2 の正規部分群を含み、それによるその部分群自身とは異なるもう一方の剰余類は、成分が実数の 2 × 2-行列で単位行列の ±1-倍を掛ける違いを除いてその行列式が ?1 となるもの全体の成す集合である。
ポワンカレ模型におけるこれらの群の関係は以下のようなものである。
省6
64: ID:1lEWVa2s 2020/06/29(月)15:32 ID:gnlHkMTE(1) AAS
どいつもこいつも0でごまかすような。
65: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/30(火)23:24 ID:ult3TIYS(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:language-and-engineering.hatenablog.jp
主に言語とシステム開発に関して
数学の「ABC予想」の証明の原論文PDFと，わかりやすい解説資料。「宇宙際タイヒミュラー理論」
数学 数論 予想や未解決の難問 講義ノート
66: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/30(火)23:29 ID:ult3TIYS(2/2) AAS
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【数学】ABC予想ニュース【最新情報】
2018年01月24日
宇宙際タイヒミュラー理論のまとめWiki
(2018.1.24更新)
67(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)07:34 ID:ccoy8kKe(1/4) AAS
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
(抜粋)
P177
§ 27. まとめ
最後に, 本稿で行われた議論を, 後半で説明した “Hodge 劇場の構成” の観点からまとめて, 本稿を終えましょう:
・ ある Diophantus 幾何学的定理 (§4 の冒頭で述べた主張を参照) を証明するためには,
(a) 対数殻
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
(c) 数体
省20
68(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)07:36 ID:ccoy8kKe(2/4) AAS
>>67
つづき
・ また, 上述のように, F×l = Fl \ {0} の元での特殊値として得られる (b) を, 0 ∈ Fl
での代入によって得られる適切な “入れ物” に収納したい − つまり, F×l の元と {0}
の元を関連付けたい. そのために, AutK(XK) から生じる Fｘ±l → LabCusp±K という加
法的/幾何学的な対称性をもとに, 局所的な設定と大域的な設定との関連付けを行う. これ
らの結果として構成される概念が, D-Θ±ell Hodge 劇場や Θ±ell Hodge 劇場である.
(§20の議論を参照.)
・ 上述の説明から, 非常に大雑把なレベルでは, D-Θ±ell Hodge 劇場や Θ±ell Hodge
劇場 は,テータ関数, その代入点のラベルの管理, 及び, その特殊値 (つまり, (b)) のため
省15
69(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)07:36 ID:ccoy8kKe(3/4) AAS
>>68
つづき
・ それぞれ大域的な設定, 局所的な設定における数体やその完備化たちの復元, 及び,
それらに対する Kummer 理論と両立する形で, 上述のエタール的関連付けをフロベニオ
イドのレベルに持ち上げ, そして, その上, それら数体に関わる設定とテータ関数に関わる
局所的なフロベニオイドとを適切に関連付けることで得られる概念が ΘNF Hodge 劇場
という概念である. (§24 や §25 の議論を参照.)
・ 上述の説明から, 非常に大雑把なレベルでは, D-ΘNF Hodge 劇場や ΘNF Hodge
劇場 は,(c) の多輻的な表示, 及び,
＊ その (c) と
省13
70: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)07:37 ID:ccoy8kKe(4/4) AAS
>>69
つづき
・ 対数リンクによって, 単数的乗法的加群 “O×μv” を, (a) というコンパクトな加法的
加群に変換することができる. しかも, それは (b) や (c) の “入れ物” となる.
(§8 や §9の議論を参照.)
・ 一方, “対数写像は正則構造に依存する” という事実によって, (単一の) 対数リンク
による直前の (a) という “入れ物” は, 正則構造と両立しないリンクに対する両立性を持
たない. この問題を回避するために, 対数リンクの無限列から生じる “Frobenius 的対数
殻の対数写像による関係の無限列とそれぞれ Frobenius 的対数殻とエタール的対数殻の間
の Kummer 同型” の総体である, 対数 Kummer 対応 を考えなければならない.
省15
71(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)17:58 ID:k+r32g6d(1/3) AAS
>>67 追加
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
(抜粋)
P81
本稿の構成は, おおまかには以下のようになっています:
? §1 から §3: 宇宙際 Teichm¨uller 理論において遠アーベル幾何学がどのような形で
用いられるか, という点についての説明.
? §4 から §12: ある Diophantus 幾何学的帰結 (§4 の冒頭を参照) を得るために, “何
をすれば良いか”, “どのようなアプローチがあり得るか”, “そのアプローチの枠組みで何
省22
72(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)18:00 ID:k+r32g6d(2/3) AAS
>>71
つづき
テータ関数に代入するべき点は, LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベ
ル付けされます. Fl の各元での特殊値に関する考察から, F×l = Fl \ {0} でラベル付けさ
れた点での特殊値によって (b) が得られ, そして, 0 ∈ Fl でラベル付けされた点での代入
によって, (テータ関数が登場する) “テータモノイド” の分裂が得られることがわかりま
す. また, 0 ∈ Fl での代入によるこの分裂は, 後に, 対数写像を通じて, (b) や (c) に対す
る適切な “入れ物” としての (a) と結びつきます. (§19 や §20 の議論や §8 や §9 の議論
の一部を参照.) そして, 非常に大雑把なレベルでは, §13 から §20 までで構成される “加
法的 Hodge 劇場” (つまり, D-Θ±ell Hodge 劇場や Θ±ell Hodge 劇場) は, テータ関数, そ
省16
73: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/01(水)18:00 ID:k+r32g6d(3/3) AAS
>>72
つづき
加法的/幾何学的な対称性をもとに構成された “加法的 Hodge 劇場” と, 乗法的/数論
的な対称性をもとに構成された “乗法的 Hodge 劇場” を (対称性の出自の観点からは “非
従来的な形” で) 貼り合わせることで得られる概念が, D-Θ±ellNF Hodge 劇場や Θ±ellNF
Hodge 劇場です. (§26 の議論を参照.) そして, 2 つの Θ±ellNF Hodge 劇場を対数リンク
(§9 や §26 を参照) によって結び付けることで, ある単数的乗法的加群を, (a) というコン
パクトな加法的加群に変換することができます. しかも, それは (b) や (c) の “入れ物”
となります. (§8 や §9 の議論を参照.) 一方, “対数写像は設定の環構造に依存する” とい
う事実によって, (単一の) 対数リンクによる (a) という “入れ物” は, Θ リンクと呼ばれ
省14
74(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/02(木)07:16 ID:7yuS9dUI(1/3) AAS
>>67
”両立的”：両立的とは、IUTのリンクで結びつけられた 2つの量が、等式または不等式として、左辺と右辺の両方における
というような意味みたいですね（＾＾；
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
(抜粋)
P94
では, どのようにすれば実際の値に対する等式 “deg L = deg L◯xN ” が得られるので
しょうか. ここで再び,deg L (または deg L◯xN ) という値は, qE (または qNE ) なる “生成元” によって定
義された数論的直線束 L (または L◯xN ) の次数である
省16
75: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/02(木)07:16 ID:7yuS9dUI(2/3) AAS
>>74
つづき
上で例として挙げた †49 → ‡7 なる全単射 †Q〜→ ‡Q の設定において, “次数の計算方
法” として, “nZ の次数は log(♯(Z/nZ))” を採用したとしましょう. そして, (この場合に
は実際にはそれは不可能ですが)
(?): この全単射 φ:†Q〜→ ‡Q が, 部分集合の間の加群の同型 †Z〜→ ‡Z を
導き, かつ, 次数の計算の仕組みとも両立的 ? つまり,
log(♯(†Z/†n†Z)) =log(♯(φ(†Z)/φ(†n)φ(†Z))) ?
となることを証明できたとしましょう. 先述のとおり,
†49 → ‡7 なる全単射 †Q〜→ ‡Q の存在だけでは,
省7
76: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/02(木)07:32 ID:7yuS9dUI(3/3) AAS
>>74
”輻的（ふくてき）”：radial
輻は、や【×輻】【×輻射】ですね
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）外部ﾘﾝｸ:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
(抜粋)
P102
§ 7. 多輻的アルゴリズム
宇宙際 Teichm¨uller 理論では,
た ふ く て き
省21
77: 2020/07/02(木)16:57 ID:mg572Jkz(1) AAS
ふくま‐でん【伏魔殿】 の解説
１ 魔物のひそんでいる殿堂。
２ 見かけとは裏腹に、かげでは陰謀
・悪事などが絶えず企 (たくら) まれて
いる所。「政界の伏魔殿」
78: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/03(金)10:15 ID:bxcPs0DD(1/2) AAS
ありがとう
79: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/03(金)11:29 ID:bxcPs0DD(2/2) AAS
>>67
(引用開始)
・ テータ関数に代入するべき点たちの内, 我々の議論において重要となるものは,
LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベル付けされる. j ∈ Fl に対して, j でラ
ベル付けされた点でのテータ関数の値は − Fl = {−l＊, . . . , 0, . . . , l＊} という自然な
同一視のもと − “μ2l・ qj2/2l” の元となる. (§13 や §18 や §19 の議論を参照.)
(引用終り)
ここに
“μ2l・ qj2/2l”
正確には冪で
省3
80: 2020/07/04(土)12:47 ID:WE3PWVWX(1) AAS
IUT用語集
ことわざ
気違(きちが)いに刃物 の解説
非常に危険であることのたとえ。
81: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/04(土)22:04 ID:CndtYA/1(1) AAS
転載：圏論をかじっておくと、IUTでも役に立つよ
純粋・応用数学（含むガロア理論）2
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 投稿日：2020/07/04(土) ID:CndtYA/1
math jinさんを見て買いました
これいいわ
紙が必要な方は、お早めに
キンドル版もあるみたいだが
なんかね
・圏論と集合論 ／ 渕野昌：これ結構良い
省30
82: 2020/07/06(月)17:51 ID:RV5Tadyo(1) AAS
IUT用語集
きべん【×詭弁／×詭×辯】 の解説
１ 道理に合わないことを強引に正当化しようとする弁論。こじつけ。
「―を弄 (ろう) する」
２ 《sophism》論理学で、外見・形式
をもっともらしく見せかけた虚偽の
論法。
83(1): 2020/07/06(月)19:10 ID:Rb2ltlm6(1) AAS
IUT用語集
査読制度崩壊
IUT論文を査読中。
平成28年6月
京都大学 RIMS 現況調査表
>研究成果の状況
「望月新一による「宇宙際タイヒミューラー理論」の構築とその結果
としての
ABC 予想の解決は、特筆 すべき出来事である。
当該論文は現在査読中であるが」
→査読中にRIMS教授=PRIMS編集員が
IUT論文の結論決定。(査読崩壊)
↓
省21
84: 2020/07/09(木)14:10 ID:uAS7tbfZ(1) AAS
IUT用語集
math jin
0099 １３２人目の素数さん
2018/01/28 12:56:31
このmath_jinという人、
本当に止めてほしい
>>14
Edward Frenkel? @edfrenkel
返信先: @math_jinさん
Please stop. Otherwise,
省7
85: ID:1lEWVa2s 2020/07/09(木)14:51 ID:9/rZ0jmm(1) AAS
エドワードフランケル出てきたのか。
86: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/10(金)06:10 ID:F8J9moxS(1/2) AAS
転載
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
2chｽﾚ:math
327 名前：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/09(木) 13:26:02.95 ID:eFPoTeuu
ちょっと整理しておくと
１．4月3日の柏原＆玉川先生の記者会見の前と後
これは全く世界が違う
つまり、2020年4月3日以前のアンチ公開文書は、ほぼ無意味
（∵ 査読が通ったということは、多分複数人いる査読者から見て合格。当然、アンチ公開文書はチェック済み）
２．2020年4月3日以後のアンチ公開文書又は発言で、数学的に意味があるのは、ショルツ氏ただ一人
省13
87(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/10(金)06:11 ID:F8J9moxS(2/2) AAS
転載
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 48
2chｽﾚ:math
337 自分：現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 投稿日：2020/07/09(木) 22:49:15.99 ID:nrcdZVDh [2/3]
>>326
>『ABC予想入門』には
>楕円曲線y^2=x(x-a)(x+b)を構築し、そのような楕円曲線が「比較的少ない」ことを見出す
>とはっきり書いてあるんだけどね
>それがIUT理論にどうつながるのかが分からん
えーと、まず
省22
88(1): 2020/07/10(金)08:47 ID:C1L4PQhw(1/2) AAS
IUT用語集
IUT論文は査読制度が崩壊
p,woitのブログ コメント
W April 19, 2020 at 9:53 am
>Some defenders of IUT like to point
out that Scholze and Stix didn’t give
their precise objection until 2018.
But this phenomenon, given that
it was noticed by most people who
read the paper seriously, should have
省15
89(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/10(金)10:04 ID:GV/AH8s8(1) AAS
>>88
玉川がIUTについて、講義するのは賛成だな
90: 2020/07/10(金)11:31 ID:C1L4PQhw(2/2) AAS
IUT論文の査読過程が査読制度崩壊
であった調査について
文科省は関係者だから、
例えば 国会が第三者調査委員会を設置し調査するならwoit他も多分協力するだろう
91: 2020/07/10(金)15:12 ID:e3xNYXlE(1) AAS
>>89
なんでIUTを理解してない玉川が講義できるんだ？
IUT理解してたら、記者会見で
「ショルツからの再反論がないから問題ない」とか
「査読過程は墓場まで持っていく」とか
馬鹿丸出しの発言は絶対しない
92: 2020/07/10(金)15:33 ID:d6mIbB45(1) AAS
IUT用語集
自業自得
自分の行いの報いが、自分に返って
くること。通例、悪い行為について
いう。
身から出た錆さび。
93(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/11(土)11:20 ID:PRf3fy9U(1/3) AAS
>>87
『ABC予想入門』（黒川、小山 PHPサイエンス・ワールド新書 2013）
P201 に引用のスピロ予想関連文献 ２つ
（Asterisque 掲載分）
外部ﾘﾝｸ:www.numdam.org
Seminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques (a la recherche de ≪Mordell effectif≫)
Spziro Lucien (ed.)
Asterisque, no. 183 (1990) , 146 p.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.numdam.org
L. SZPIRO
省8
94: 2020/07/11(土)12:58 ID:r6mZKT2x(1) AAS
UT用語集
狂信者
解説
常軌を逸してあることを信じこむ人。
95: 2020/07/11(土)17:58 ID:jqHQXk3J(1) AAS
IUT用語集
隠蔽
解説
［名］(スル)人の所在、事の真相など
を故意に覆い隠すこと。
「証拠を隠蔽する」「隠蔽工作」
96: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/07/11(土)19:45 ID:PRf3fy9U(2/3) AAS
楕円曲線、判別式 Δ:=-16(4a2-27b2)
外部ﾘﾝｸ:www.suri-joshi.jp
数理女子
楕円曲線の有理点
楕円曲線と有理点
Q
上定義された楕円曲線とは、
a1, a2,…,a6∈Q
に対し、
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
省24
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