[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね460 (1002ﾚｽ)
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1(6): 2020/05/18(月)23:25 ID:GetP2MDS(1) AAS
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね459
2chｽﾚ:math
(使用済です: 478)
903(1): 888 2020/07/06(月)15:47 ID:mK7KZ70L(1) AAS
皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
904(1): 2020/07/06(月)15:59 ID:qGWlc6nd(1) AAS
次の函数の3階導函数を求めよ
? cosxcos3x
?e^x sinh2x (x > 0)
905: 2020/07/06(月)16:06 ID:uITHUiBq(2/3) AAS
このスレにもWolfram大先生のテンプレ貼ったほうがいいんじゃね
高校数学の質問スレPart405
2chｽﾚ:math
906(1): 2020/07/06(月)16:09 ID:y/W8tFYs(1) AAS
R^nの部分距離空間Aの点aが孤立点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
907: 2020/07/06(月)16:21 ID:vZuo8Rqd(1) AAS
かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
908: 2020/07/06(月)17:09 ID:FI2iVHF+(1) AAS
>>906
{a}は開集合か？と言う問に答えられる
909: 2020/07/06(月)18:16 ID:cE8uMBSB(3/3) AAS
>>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
910(1): 2020/07/06(月)18:55 ID:zrqa/esz(1) AAS
（無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
911: 2020/07/06(月)21:00 ID:uITHUiBq(3/3) AAS
>>910
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか
[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
省13
912: 2020/07/06(月)22:07 ID:fgaeIocv(1) AAS
πだとこんな感じ
> pi
[1] 3.1415926535897931
> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
913: 2020/07/07(火)00:30 ID:yBUx0unO(1) AAS
手間はかかるけど証明は自明に近いな
914: 2020/07/07(火)00:37 ID:gyGhnLCq(1/3) AAS
2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10)
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
915: 2020/07/07(火)01:03 ID:UC0vv9cS(1/3) AAS
Farey数列がらみの話ですな。
916: 2020/07/07(火)01:31 ID:DRPGbRnk(1) AAS
f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
917: 2020/07/07(火)01:41 ID:UC0vv9cS(2/3) AAS
f(x)=exp(2πix)
g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2))
918(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/07(火)02:08 ID:BoTxtUvK(1/4) AAS
前>>895
>>865(2)
ヒットエンドラン♪
長さ√2/3
傾き(0,1,1)
GHの単位ベクトルは(1/√2)(0,1,1)
体積の微分かな？
919: 2020/07/07(火)04:45 ID:LT2FasoV(1) AAS
多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は
杉浦 解析入門2
ミルナー 微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック 微分位相幾何
以外にありますか？
920: 2020/07/07(火)05:06 ID:8QVuUDNk(1/14) AAS
>>903
ワイの>>893 の説明が一番わかり易いから
他は無視してええぞ。
三角定規を置いて、それを山に見立てる。
左側の斜面の長さを x km、 右側の斜面の長さを y km
として考えたら、一目瞭然。
921(7): 2020/07/07(火)06:09 ID:8QVuUDNk(2/14) AAS
ゲームの課金ガチャを引いて、
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。
で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。
・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
省13
922(5): 2020/07/07(火)06:14 ID:UC0vv9cS(3/3) AAS
5/5+5/4+5/3+5/4
100/100+100/99+‥+100/21
923(2): 2020/07/07(火)07:54 ID:yR/EvhWJ(1/2) AAS
>>921
5色がどういう割合で入っているのかわかっていないなら計算出来ないと思う
924(4): 2020/07/07(火)08:01 ID:xPi9MVYZ(1/2) AAS
答えを教えて欲しいです。
１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う
2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が
24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった
(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．
省2
925(1): 2020/07/07(火)08:06 ID:hqf5T3vF(1) AAS
>>924
＞F が講義資料第８回目（p.8) の式としたとき
考える気失せる
926: 2020/07/07(火)08:11 ID:xPi9MVYZ(2/2) AAS
>>925
すみません。
2の問題は無視して下さい。
927(1): 2020/07/07(火)08:19 ID:8QVuUDNk(3/14) AAS
>>923
完全にランダムであり、同じ確率です。
割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。
ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、
「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」
省1
928: 2020/07/07(火)08:20 ID:8QVuUDNk(4/14) AAS
>>923
>>927の条件をつければ
計算できると思います。
929: 2020/07/07(火)08:22 ID:UFb6e8CE(1) AAS
>>924
バカだろw
消えろ
930: 2020/07/07(火)09:07 ID:yR/EvhWJ(2/2) AAS
クーポンコレクターの亜種か
931(4): 2020/07/07(火)10:37 ID:BqvccBWc(1) AAS
まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
932: 2020/07/07(火)11:07 ID:gyGhnLCq(2/3) AAS
>>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
933(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/07(火)11:39 ID:BoTxtUvK(2/4) AAS
前>>918
>>921
七夕🎋なんで五色といえば、
赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。
期待値の問題じゃないかな。
五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。
2回目2色目がわかる確率は4/5
３回目3色目がわかる確率の3/5と、
4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。
4×3×2/5^3=24/125
省1
934: 2020/07/07(火)11:42 ID:8QVuUDNk(5/14) AAS
>>933
計算機、スプレッドシートで手計算してみる！
935(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/07(火)12:09 ID:BoTxtUvK(3/4) AAS
前>>933
>>921
4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(……
7ぐらいまでやればわかるかも。
936: 2020/07/07(火)12:14 ID:LSsU1iyt(1/2) AAS
期待値なら即答されてる
937(1): 2020/07/07(火)12:16 ID:8QVuUDNk(6/14) AAS
アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。
動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。
i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
938: 2020/07/07(火)12:28 ID:8QVuUDNk(7/14) AAS
>>922 が答えなの？
ありがとうございます！
計算してみました。
式 100/100+100/99+‥+100/21
= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159
つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
939(1): 2020/07/07(火)12:34 ID:LSsU1iyt(2/2) AAS
いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた
確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
940(4): 2020/07/07(火)12:56 ID:8QVuUDNk(8/14) AAS
>>922 >>939
サンクス！！
・5色のうちの4色 6.4 回
・10色のうちの8色 14 回
・50色のうちの40色 79 回
・100色のうちの80色 159回
・500色のうちの400色 803回
8割の色を出すには、色数 x 1.61 個 ほど
引けばいいようです。
941(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/07(火)12:59 ID:BoTxtUvK(4/4) AAS
前>>935
７回。
942(2): 2020/07/07(火)13:07 ID:bx7umG9D(1/11) AAS
>>921
シミュレーションしてみた。
> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明で終了
+ record=NULL # 記録された色
+ color=0 # 記録された色の種類
+ count=0 # 試行回数
+ while(color!=m){ # m色記録されないなら
+ count=count+1 # １個取り出して
+ record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消
+ color=length(record) # 記録された色の種類
省7
943(1): 2020/07/07(火)13:12 ID:bx7umG9D(2/11) AAS
>>924
１． 単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
944(1): 2020/07/07(火)13:26 ID:bx7umG9D(3/11) AAS
>>924
正規分布近似
> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404
カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
945(2): 2020/07/07(火)13:31 ID:bx7umG9D(4/11) AAS
>>937
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
946(1): 2020/07/07(火)13:36 ID:bx7umG9D(5/11) AAS
>>945
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
947: 2020/07/07(火)14:06 ID:bx7umG9D(6/11) AAS
>>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
省2
948: 2020/07/07(火)14:26 ID:bx7umG9D(7/11) AAS
>>931
百万回のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
省7
949: 2020/07/07(火)14:35 ID:bx7umG9D(8/11) AAS
>>931
２．のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6
1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
950(1): 2020/07/07(火)15:40 ID:8QVuUDNk(9/14) AAS
>>941-946
みなさん、ありがとうございます。
数行でかけるんですね。
こっちは スプレッドシートを500行 並べて
総和 SUM（A:B） と 総乗 PRODUCT(A:B) して
>>940 の値を求めた。
1.61 ？ くらいに漸近するような感じ
951(1): 2020/07/07(火)15:43 ID:8QVuUDNk(10/14) AAS
>>950
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。
ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
952(1): 2020/07/07(火)15:51 ID:8QVuUDNk(11/14) AAS
>>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。
色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のように おおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる
5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と 色数を大きくしていくと
ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？
953: 2020/07/07(火)15:56 ID:8QVuUDNk(12/14) AAS
>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！
おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
954: 2020/07/07(火)16:04 ID:8QVuUDNk(13/14) AAS
ln (e!) x (a/b) !
↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。
全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、
a x {ln (e!) x (a/b) !} 回
のような気がする。
955(1): A欄既卒 ◆iD93.8lby6 2020/07/07(火)16:20 ID:8QVuUDNk(14/14) AAS
大学で 「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？
>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。
>>940 から俺が閃いた 漸近する値 についてのナゾの式
（>>951 および >>952） の内容は正しいのか？
間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。
10兆色のうちの8兆色 とかで計算してさ。
956(1): 2020/07/07(火)16:43 ID:bx7umG9D(9/11) AAS
>>940
１０００色までやってみた。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356
> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
省21
957(1): 2020/07/07(火)17:11 ID:bx7umG9D(10/11) AAS
>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910
１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
958: 2020/07/07(火)17:22 ID:wjRMaac8(1/3) AAS
内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
959: 2020/07/07(火)17:24 ID:wjRMaac8(2/3) AAS
E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
960: 2020/07/07(火)17:43 ID:xkZAJeQx(1/2) AAS
φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
961: 2020/07/07(火)17:53 ID:wjRMaac8(3/3) AAS
ありがとうございました。
962(1): 2020/07/07(火)19:09 ID:7vxztQCR(1/2) AAS
>>808 の計算
正n角形Sの頂点を S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。
Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。 ↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。 ↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
省15
963(1): 2020/07/07(火)19:12 ID:7vxztQCR(2/2) AAS
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
964: 2020/07/07(火)19:50 ID:xkZAJeQx(2/2) AAS
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
965(1): 2020/07/07(火)19:59 ID:V0zbgviH(1) AAS
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
966(1): 2020/07/07(火)20:31 ID:bx7umG9D(11/11) AAS
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
967(6): 2020/07/07(火)21:17 ID:YXX3xhBe(1) AAS
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
968: 2020/07/07(火)23:27 ID:gyGhnLCq(3/3) AAS
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
969: 2020/07/07(火)23:27 ID:UGF9ZM36(1) AAS
分からない問題はここに書いてね461
2chｽﾚ:math
970: 2020/07/08(水)01:39 ID:E7sQrDhL(1/2) AAS
>>962-963
n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
省5
971(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/08(水)03:28 ID:ODJ2yoWq(1) AAS
前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
省5
972: 2020/07/08(水)04:38 ID:wpJjzlbG(1/2) AAS
>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
973(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/08(水)04:53 ID:CkzpZnuD(1) AAS
前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
974(1): 2020/07/08(水)07:34 ID:I3BoIViR(1/6) AAS
>>967
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
省9
975(1): 2020/07/08(水)08:08 ID:E7sQrDhL(2/2) AAS
>>966
ディリクレ(1805〜1859)の死後、明治〜大正時代は
「引きだし論法」だったかも。
976: 2020/07/08(水)08:11 ID:I3BoIViR(2/6) AAS
>>974
図示しないと気持ちがわるいな。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
977(1): 2020/07/08(水)08:32 ID:0bsbQgCs(1) AAS
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
978: 2020/07/08(水)08:37 ID:wpJjzlbG(2/2) AAS
みんな頭いいな。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
979: 2020/07/08(水)09:34 ID:wuJIFs5H(1/4) AAS
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
980(2): 2020/07/08(水)10:16 ID:XD7Ql8W/(1) AAS
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
981(2): 2020/07/08(水)11:22 ID:wuJIFs5H(2/4) AAS
>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？
動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
982: 2020/07/08(水)11:56 ID:M5YUn+y1(1) AAS
X,Yを全順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？
なりそうな気がしますがどうでしょうか？
983: 2020/07/08(水)12:44 ID:AhepFBJk(1) AAS
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
984: 2020/07/08(水)12:56 ID:I3BoIViR(3/6) AAS
>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
985: 2020/07/08(水)12:58 ID:I3BoIViR(4/6) AAS
>>973
赤がイナ芸人の答
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
986: 2020/07/08(水)13:10 ID:Pt4pRb+l(1) AAS
そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
987: 2020/07/08(水)14:12 ID:wuJIFs5H(3/4) AAS
>>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。
点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。
（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。
988(1): 2020/07/08(水)14:45 ID:ljE/4Hhb(1) AAS
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
989: 2020/07/08(水)15:06 ID:yiO6XJAl(1/2) AAS
lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
990: 2020/07/08(水)15:31 ID:yiO6XJAl(2/2) AAS
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
991(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/08(水)16:30 ID:5WH5GGpe(1) AAS
前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
省2
992: 2020/07/08(水)16:53 ID:wuJIFs5H(4/4) AAS
>>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。
993: 2020/07/08(水)18:16 ID:I3BoIViR(5/6) AAS
>>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com
994(1): 2020/07/08(水)18:39 ID:I3BoIViR(6/6) AAS
>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
995: 2020/07/08(水)19:08 ID:NoIq/b5Q(1) AAS
MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
996(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/07/08(水)20:01 ID:A4Rmkg0O(1) AAS
前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2
997: 2020/07/09(木)01:42 ID:t0ZWB8zx(1) AAS
一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
998: 2020/07/09(木)02:32 ID:XFAfLnLw(1) AAS
π/3<a<2π/3
1/4
999: 2020/07/09(木)07:39 ID:dYeNIQef(1) AAS
>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
省3
1000: 2020/07/09(木)08:04 ID:lBO5fTHS(1) AAS
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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