[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 31問目 (1002ﾚｽ)
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101(1): 2020/02/03(月)05:26 ID:0LuwDr/b(1/6) AAS
>>93
ありがとうございます。
ｘ＝１０の平面（壁）から入水する場合にはｚ＝０の壁を通るルートとｙ＝０の壁を通るルートの二つがあるのを見逃していました。
そこを修正してみたら、
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.74535
最も時間がかかる位置は
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.466237 7.466237 7.466237
省6
102(2): 2020/02/03(月)06:09 ID:mpjDkD/V(1/3) AAS
解析解を求めようとしましたが、きれいに出そうもないので、最後はNSolveを使いました。結果は次です。
(x,x,0)、あるいは、(10,y,y)で、水中に進入して、(p,p,p) へ向かったときに要する時間 t が最大必要時間。ただし、
x= 4.4181491667177352242257646161...
y= 6.5411105380457743031791097544...
p= 7.4662212132535098497019158523...
t=11.7453528906822212444517842198...
103: 2020/02/03(月)06:11 ID:0LuwDr/b(2/6) AAS
>>101
入水角度
> asin(h/r)*180/pi # 理論値=60°
[1] 62.69019
になったから、数値解での誤差なのか、プログラムのバクの可能性も十分にあるな。
104(1): 2020/02/03(月)06:19 ID:0LuwDr/b(3/6) AAS
最適化のアルゴリズムをNelder-Mead法に変えて計算し直してみた。
> opt$objective # 最短でも必要な秒数
[1] 11.69816
> (Scrit=opt$maximum*e) # 最遅点の座標Scritical = 対角線上距離×方向単位ベクトル
[1] 7.43622 7.43622 7.43622
> sim(opt$maximum,print=T) # 最遅点に最速で到達する経路を表示
Z10 Y10 X10 : 11.69816
> (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
[1] 6.074329 6.855617 10.000000
省5
105(1): 2020/02/03(月)06:33 ID:0LuwDr/b(4/6) AAS
>>102
その数値だと入水角度がぴったり６０度になりました。
> x= 4.4181491667177352242257646161
> p= 7.4662212132535098497019158523
> Scrit=c(p,p,p)
> h=p
> J=c(x,x,0)
> r=dit(Scrit,J,1)
> asin(h/r)*180/pi
[1] 60
106: 2020/02/03(月)06:57 ID:0LuwDr/b(5/6) AAS
>>97
√3の小数表示から立方体プールの方に移ればいいじゃないの？
きれいな式での解は困難ということだから、計算が二次元プール以上に楽しめると思うんだけど。
107(1): 2020/02/03(月)07:02 ID:mpjDkD/V(2/3) AAS
>>105
>> > (Jz=c(jmpz$par,Lz)) # 入水点の面z=10での座標
>> [1] 6.074329 6.855617 10.000000
あれ、こんなところで、対称性の破れが、．．．
驚きました。手抜きすべきではありませんでした。
>>102 は取り下げます。
108: 2020/02/03(月)07:04 ID:mpjDkD/V(3/3) AAS
上記は
105 ではなく、>>104の間違いです。
109: 2020/02/03(月)07:48 ID:0LuwDr/b(6/6) AAS
>>107
対称性からいえば
Z=10の平面での入水点は
（6.074329 ,6.855617, 10)
（6.855617, 6.074329 ,10)
の二つがあることになり、
どちらを経由しても
所要時間は同じになりました（まあ、当然とでしょうけど）
> f(jmpz$par[1],jmpz$par[2])
[1] 11.698156288555285
省3
110: 2020/02/03(月)08:21 ID:5QqjKgBu(1) AAS
理論値は
11.69815627019646153787418090069489267584187319472412254855
です。
111(1): 2020/02/03(月)09:20 ID:xmpWmdc0(1) AAS
ちなみに方程式は4次方程式なので手計算で答え出すのは大変ですが、wolfram先生にお願いすれば二重までの根号で出るようです。
方程式自体は簡単です。
むしろ難しいのは、方程式を立式する上で、二次元の場合なら当たり前で許してもらえる事が三次元ではそこまで当たり前に思えない事。
本問では所要時間最大になる点がx=y=z上にある事を示すのがやや難しい。
今のところ持ってる解法はあまり美しくない。
112(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/03(月)11:08 ID:avp8Qlns(3/5) AAS
前>>99訂正。
前々>>97
前々の前>>94
>>54入水角度=57.465773447629°のときが最速とわかり、
>>61救出時間=10秒735371693
113(1): 2020/02/03(月)11:42 ID:MOGD/Do4(1/3) AAS
>>111
所要時間の式を偏微分して極値を出すのではないの？
114(2): 2020/02/03(月)12:12 ID:04w+XRU0(1/2) AAS
>>114
所要時間のなす関数は最大値を与える点で偏微分不可能です。
理由は二次元の場合と同じく、関数の定義にminが入るから。
明らかに無視できる経路を除いて最短経路になる候補が６個あり、所要時間=min{f1,f2,‥,f6}の形になる。
各々のfiは偏微分可能ですが、求める点はいずれのfiの極値にもなってはいません。
x=y=zに制限してもダメ。
手持ちの解答の方針としては
・まず６個に絞る。
・x=y=zに絞る。
・実質二個になる。
省5
115: 2020/02/03(月)12:19 ID:04w+XRU0(2/2) AAS
あ、ウソ言った。
・６個に絞る。
・実質２個に絞る。
・x=y=zに絞る
でした。
やってる事は東工大のと同じ。
116: 2020/02/03(月)12:37 ID:MOGD/Do4(2/3) AAS
>>114
個々のfをwolfram使って偏微分しようと思っていたけど無駄なんだな。
確かに自分のプログラムコードでもminを使っている。
117: 2020/02/03(月)12:38 ID:MOGD/Do4(3/3) AAS
>>112
話題は立方体に移っているよ。
118(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/03(月)15:59 ID:avp8Qlns(4/5) AAS
前>>112
>>113偏微分。
それだと思う！
入水角度θと監視員が最初にいる地点から対角線上にある救出場所までの距離xという2つの変数がある。
xが一次だから解けたのかもしれない。
119(3): 2020/02/03(月)16:24 ID:Bd06CPXX(1/2) AAS
>>81
単純化のためp≧q≧rとし
経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)
経路b: (0,0,0) -> (0,y,z) -> (p,q,r)
経路c: (0,0,0) -> (x,0,z) -> (p,q,r)
とするとき、経路aの所要時間
t=√(x^2+y^2)/2+√((p-x)^2+(q-y)^2+r^2)
の極小値(∂t/∂x=0,∂t/∂y=0)を計算すると
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
(x/p=y/q=1-r/(√3 √(p^2+q^2))のとき)
省22
120: 2020/02/03(月)17:22 ID:lGSYI3JC(1/5) AAS
>>119
(1)(2)を連立させての意味が直ぐには理解できなかったのでグラフにしてみました。
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
121: 2020/02/03(月)19:21 ID:lGSYI3JC(2/5) AAS
wolframに
local minimum sqrt(x^2+y^2)/2+sqrt((p-x)^2+(q-y)^2+r^2) where 0<x<10 and 0<y<10
local minimum sqrt((10+y)^2+z^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y<z
local minimum sqrt(y^2+(10+z)^2)/2 + sqrt((10-p)^2+(q-y)^2+(r-z)^2) where 0<y<10 and 0<z<10 and y>=z
を入力したけど、どれも上手くいかなかった。
122(1): 2020/02/03(月)19:29 ID:lGSYI3JC(3/5) AAS
所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
座標をいれたら所要時間を計算する関数sim2を作ってコンピュータに最大値を探索させてみた。
探索を始める初期値によって収束しないこともあるので初期値を乱数発生させて収束したら表示するように設定。
> while(opt$convergence!=0){ # 初期値を乱数発生させて収束するまで繰り返す
+ opt=optim(par=sample(0:10,3),sim2,control = list(fnscale=-1),method='N')
+ }
> opt
$par
[1] 7.436222 7.436221 7.436221
$value
省9
123(2): 2020/02/03(月)19:38 ID:Bd06CPXX(2/2) AAS
>>122
>所要時間はp=q=rのとき最大 というのが私には明らかでないので
pを固定させてq,rをp≧q≧rの範囲で動かすことを考える。
このとき、所要時間はqまたはrの単調増加関数だから明らか。
124: 2020/02/03(月)21:19 ID:lGSYI3JC(4/5) AAS
>>123
立方体でなくて直方体のときも所要時間最大の点は
原点と最遠の頂点を結ぶ線上にあるのかな？
125(1): 2020/02/03(月)21:54 ID:lGSYI3JC(5/5) AAS
数値を変えて
オリンピックサイズ・プール50m×25mの水の入ったプールの一つの角に監視員を置く。
水深2.5mとする。
この監視員は世界記録で移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
をやってみたけど、最遠の頂点が一番時間がかかるという結果になったので面白みがなかった。
ただ、所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提でのプログラムなので結果には自信がない。
126(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/03(月)22:59 ID:avp8Qlns(5/5) AAS
AA省
127(3): 2020/02/03(月)23:19 ID:SKsq1rTN(1) AAS
>>125
> 水深2.5mとする。
この情報いる？
それはともかく、対角までの時間は、
75*0.0958=7.185
で、例えばプールの中心までは
(25-12.5tan(asin(9.58/46.91)))*0.0958+12.5cos(asin(9.58/46.91))*0.4691≒7.88
じゃないの？
> 所要時間最大点はこの頂点と原点を結ぶ線上にあるという前提
そんな根拠はない、というか間違いだろう
省1
128(1): 2020/02/03(月)23:19 ID:to5eQB6u(1) AAS
陸上の速度をv、水中の速度をwとし、m=w/√(v^2-w^2)とする。
プールを0<x<a、0<y<bとする。
辺y=0から入水してt秒後に到達できる領域はmx+y≦mvt、
辺x=0から入水してt秒後に到達できる領域はmy+x≦mvt、
辺y=bから入水してt秒後に到達できる領域は-y+mx≦-b+mvt、
辺x=aから入水してt秒後に到達できる領域は-x+my≦-a+mvt
である。
方程式
mx+y=mvt‥?、my+x=mvt‥?、
-y+mx=-b+mvt‥?、-x+my≦-a+mvt‥?
省3
129(1): 【大吉】 2020/02/04(火)00:08 ID:+IjSdzOF(1/10) AAS
前>>126
>>54修正。
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
表記ミスがあった。計算が間違ってなければいいんだけど。
130: 2020/02/04(火)03:29 ID:W/1szoPy(1/11) AAS
>>127
z軸もあるから水深は必要。
131(1): 2020/02/04(火)03:33 ID:W/1szoPy(2/11) AAS
>>123
経路 a のt をqで偏微分すると
(q - y)/√((p - x)^2 + (q - y)^2 + r^2)
増加関数と言いるんだろうか？
132(1): 2020/02/04(火)04:18 ID:LNHsvcqa(1) AAS
>>131
そっちじゃなくて、tの極小値のほう
t=(√(p^2+q^2)+√3 r)/2,
これは明らかにqまたはrの増加関数
133(1): 2020/02/04(火)05:36 ID:W/1szoPy(3/11) AAS
>>127
立体だと複雑になるので平面で考えて
横２０ｍ縦１０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで１５．５秒で到達できる範囲を描画してみました。
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
ご指摘の通り、対角線上に所要到達時間最大点があるというのは間違いであると確認できました。
134: 2020/02/04(火)05:49 ID:W/1szoPy(4/11) AAS
>>133
すいません、プログラムにバグを発見したので撤回します。m(__)m
135: 2020/02/04(火)06:22 ID:W/1szoPy(5/11) AAS
気づいたバグを修正して長方形プールで描画しました。
対角線と対角二等分線をあわせて描画しました。
横２０ｍ縦３０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
横３０ｍ縦２０ｍのプールで陸上速度毎秒２ｍ、水中速度毎秒１ｍで２６秒で到達できる範囲
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
>127の直感通り、対角の２等分線上に所要時間最頂点が位置するようです。
136: 2020/02/04(火)06:27 ID:W/1szoPy(6/11) AAS
>>132
レスありがとうございます。
立法体なのでp≧q≧rという仮定が許されるということと理解しました。
137: 2020/02/04(火)07:24 ID:W/1szoPy(7/11) AAS
>81の問題を立方体から直方体に拡張して考えてみた。
オリンピックサイズ・プール50m×25mで水深2.5mの水の入った直方体プールの一つの角に監視員を置く。
この監視員は世界記録で直方体の面上や水中を移動するものとする。
水泳100m自由形 46秒91で水中を移動
陸上100m9秒58でプールを囲む面を」移動
この監視員がプールのどこへでも到達しうるには，最短で何秒必要か計算せよ。
立方体でなくて直方体のときには、所要時間最大の点は原点と最遠の頂点を結ぶ線上にはない、ということを教えていただいたのでプログラムを組み直した。
所要時間最大点の座標
par
[1] 49.980916 24.788643 2.288643
省4
138: 2020/02/04(火)07:48 ID:W/1szoPy(8/11) AAS
探索初期値設定により、結果がばらつくけど
多数派意見(？）は
> opt
$par
[1] 49.06521 23.86881 1.36881
$value
[1] 5.855706
$counts
function gradient
256 NA
省6
139(1): 2020/02/04(火)10:56 ID:3+QKrfHh(1/10) AAS
>>128
??の交点が頂点(a,b)にある角の二等分線上lなのでt1での???の交点もt2での???の交点もl上。
よくよく考えたらt1=t2だった。
140: 2020/02/04(火)11:21 ID:3+QKrfHh(2/10) AAS
>>139
ウソ書いた。
a,bの大小とt1,t2の大小は一致するでした。
141(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)11:44 ID:+IjSdzOF(2/10) AAS
前>>129問題(前スレ760)
向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
微分すると、
省25
142: 2020/02/04(火)12:03 ID:3+QKrfHh(3/10) AAS
xで微分してそれが0になるθ探してどーするん？
微分の意味がまるで分かってない。
結局意味もわからずやり方だけ覚えたらいいと思ってるから一つも前進しない。
143(4): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)12:39 ID:+IjSdzOF(3/10) AAS
前>>141問題(前スレ760)再考察。
救出する最遠方地点は監視員が最初にいる位置から対角線上x(m)にあると見て、向こう側の縁からθの角度で飛びこんだ監視員が泳ぐ時間は、
(10-x/√2)/sinθ(秒)
突き当たりを直角に曲がって飛びこむまでの時間は、
{10-(10-x/√2)(1+1/cosθ)}(1/2)
=5-(5-x/2√2)(1+1/cosθ)
=-5/cosθ+x/2cosθ√2+x/2√2(秒)
これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
省25
144(1): 2020/02/04(火)12:54 ID:VWzue31P(1/3) AAS
>>143
直前のレス読んでるか？
xで微分してそれが0になるところ求めてどーするん？
それで何で所要時間が最小になるθが見つかるの？
微分というのが何か？
それで何故最小値が求まるのかという当たり前の理屈が分かってないから答えられないんだよ。
何度も解答見直した？
xで微分した。
＝0としてθについて解いた。
あれ？なんでコレで答え見つかるんだっけ？と自分に問い直してみないの？
145(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)13:38 ID:+IjSdzOF(4/10) AAS
前>>143
>>144前スレ760を見たら、なんで答えがみつかるかを説明せよとは問われてない。
ただ最短となる時間を計算せよとある。
だから計算した。そんなけ。AO入試ってなんだ？ と思って調べたら、論文みたいだった。答えはこうじゃないかああじゃないかと思案検討し計算する姿勢が求められてるんじゃないかと思う。
なんでxで微分して答えがみつかるか知りたい気もするし、べつに知りたくない気もする。
入水角度が60°のときも計算した。60°のときは計算しやすいけど最短でということでは角度が甘いと思った。
146(1): 2020/02/04(火)13:51 ID:3+QKrfHh(4/10) AAS
>>145
なんで答えが微分でもとまるか書けといわれてないから書かなくていい、分かってなくていいって思ってるからいつまで経ってもデキフるようにだけならないんだよ。
思案検討ってなんで微分したら答えがわかるという事は思案したの？
してないよね？
なーんにも考えてないよね？
なんとなく最小値求める時は微分。
でもθで微分なんてできない。
よーしxで微分してみよう！
おぉできた。
60°っぽいぞ！
省4
147: 2020/02/04(火)14:42 ID:VWzue31P(2/3) AAS
>>81です。>>119さんの解答がほぼ用意してた解答です。
ひとつだけコメント。
たとえば経路a: (0,0,0) -> (x,y,0) -> (p,q,r)において(x,y,0)についての極小値の出し方なのですが、
これは距離関数d(A,P)のPについての全微分が
d d(A,P)=e(A,P) dP (e(A,P)はAPベクトルと同じ向きの単位ベクトル、以下同じ）
になることを用いると意味がはっきりします。
この時の所要時間Tは(p,q,r)をAとおいて陸上の速度をv、水中の速度をwとして
T = d(O,P)/v + d(A,P)/w
なので
dT = (e(O,P)/v + e(A,P)/w)dP
省11
148(4): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)15:38 ID:+IjSdzOF(5/10) AAS
前>>145
>>146困ったら微分。
それしかない。
60°のときを考えるのはだれでもする。けどそのまま答えは60°のときとするのは高校生まで。
大人は困ったら微分する。
60°のときじゃない、と思ってθと置いたわけで、苦しんで微分するために置いたんじゃない。
未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。
149(1): 2020/02/04(火)16:10 ID:3+QKrfHh(5/10) AAS
>>148
ちょっと確認させて欲しい。
> 未知数xの方程式を微分して極値を与える角度θを出したら60°になるよりちょっと手前で入水したらいいとわかった。問題ない。
コレは本気で書いてるのか、それともココで引き下がったらレスバに負けるから間違ってるの承知でむりくり押し通してやろうと考えてるのかどっち？
もしかしてxで微分してもいいと本気で思ってるん？
xで微分しようがθで微分しようが好きな方で微分していいと本気で思ってるの？
150(2): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)17:11 ID:+IjSdzOF(6/10) AAS
前>>148
>>149どうやって解いたんだ？ と思って解きなおしたら何度やっても解けなくて、計算間違いかなぁと思ってあきらめかけた。
計算間違いじゃなくxで微分して極小値を与える角度θを出したんだとわかった。
一度はやろうとしたxとθの両方で微分するとどうなるか、またθで微分するとどうなるか、ぜひやってみてほしい。
xで微分して極小値を与える角度θを出して救出時間を出したのはまだ俺だけだと思う。今のところ正しいかどうか比べるものがない。なぜかみんな三次元がいいとか言って潜水してしまって、無人島にいる感じ。入水角度θ=60°のときより速いことは調べた。
151(1): 2020/02/04(火)17:27 ID:3+QKrfHh(6/10) AAS
>>150
だからxで微分しても正しい答えはでないと何度も指摘してるじゃん？
入水角が60°でない経路は最小にはなり得ません。
もし本気で出てる答え5+10/√3より小さい答えが出たと言い張るなら既出の答えの最小到達時間が最大になる点
(5(1+1/√3),5(1+1/√3))
=(7.886751345948, 7.886751345948)
に
5+10/√3 = 10.773502691896
より先に到達できる経路を明示しないとダメ。
わかる？明示？
省2
152: 2020/02/04(火)17:32 ID:W/1szoPy(9/11) AAS
>>148
びぶんのことはびぶんでやれ、という高木貞治を想い出したよ。
153: 2020/02/04(火)18:06 ID:VWzue31P(3/3) AAS
7.886751345948/sin(57.465773447629deg)+7.886751345948(1-1/tan(57.465773447629deg))/2
=
10.7826518083
(10-7.886751345948)/sin(57.465773447629deg)+(10-(10-7.886751345948)(1+1/tan(57.465773447629deg)))/2+5
=
10.7759541902
いずれの経路でも 10.773502691896秒より前に到達できない。
154(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)18:49 ID:+IjSdzOF(7/10) AAS
前>>150
>>61到達時間10+t=10.735371693(秒)
＜10.7735……
入水角度θ(°)、到達時間10+t(秒)、あとは──。
>>151入水地点は、
つきあたりからの距離、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)に、
θ=57.465773447629°と、
xを代入するとわかる。
xは到達時間、
省4
155: 2020/02/04(火)18:54 ID:3+QKrfHh(7/10) AAS
こいついわれてる事全く理解してない。
真性のバカなんだな。
156: 2020/02/04(火)18:57 ID:W/1szoPy(10/11) AAS
wolframに∂t/∂x=0, ∂t/∂y=0を解いてもらおうと
x/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-p + x)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
y/(2 Sqrt[x^2 + y^2]) + (-q + y)/Sqrt[r^2 + (-p + x)^2 + (-q + y)^2]=0
を入力すると
r = -(1.73205 sqrt(p^2 + q^2) (p - x))/p, y = (q x)/pと返ってきてx,yについて解いてもらえなかった。
157: 2020/02/04(火)19:18 ID:VleZ36bS(1/4) AAS
xy平面において、x軸上の正の部分のみ、速度 v、その他の領域は速度 1 で移動できるものとする。
原点にいる人物が、目標地点(cosθ,sinθ) に到達すべく、移動する。
この時、より短時間で目標地点に到達するには、次の戦略αとβ、どちらが有利かを考える。
戦略α：現地点から、直接目標地点の方向へ速度 1 で移動する。
戦略β：x軸に沿って速度 v で移動する。
ε を正の小さな量とする。戦略αあるいはβ取って移動を開始し、εの時間がたった時のそれぞれの到達地点をA,Bとすると
A(εcosθ,εsinθ)、B(vε,0)
目標地点までの距離は、それぞれ、1-ε、√((vε-cosθ)^2+sin^2θ) となるが、さて、どちらが小さいか？
二乗したもの同士の差をとって比べてみると、
(1-ε)^2-((vε-cosθ)^2+sin^2θ) = 1-2ε+ε^2 -v^2ε^2+2vεcosθ-1 = ε(2v cosθ-2)+(1-v^2)ε^2
省5
158(1): 2020/02/04(火)19:18 ID:VleZ36bS(2/4) AAS
と同時に、この類いの問題に対し、次の戦略が最速であることを示す。
現在地から目標地点へのベクトル、あるいは、その方向への単位ベクトルをｐ↑、
選択可能ないくつかの速度ベクトルｖ↑が与えられたら、
内積 ｐ↑・ｖ↑ が最大になる速度ベクトルｖ↑ に沿うコースこそ最速コースである。
この戦略に従って、四次元プールの問題を考えるなら、微分は必要なくなる。
（この戦略の背景は、微分の考え方そのものであるが、結論のみを利用するならば、微分は不使用）
目的地を、(p,q,r) ただし、対称性から p≧q≧r として考える。
この方向への単位ベクトルは(p/D,q/D,r/D) 但し、D=√(p^2+q^2+r^2)
直接この方向へ向かう場合、速度ベクトルも(p/D,q/D,r/D)なので、内積は、1
縁を進む場合は、三つの平面の内どれか。p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
省5
159: 2020/02/04(火)19:19 ID:VleZ36bS(3/4) AAS
以上は、向こう側の「縁」を利用しない場合の最速コースについての議論。
向こう側の縁を利用する場合は、まずは、平面x=10へ下ろした時の足の座標、(10,q,r)へ向かうコースを考える。
立方体の表面しか移動できないので、展開図上で考えることになるが、直角を挟む2辺が10+rとqである直角三角形の
斜辺上にあたるコースを辿りながら、向こう側の平面に到達したときに、(p,q,r)を目指すことになる。
これは、無限に広がるプール、ただし、三つの平面x=0、y=0、z=0上だけは、
速度2で歩けるという条件で、(10+r,q,10-p)を目標にするのと同じ事になる。
こう考えると、先ほどの結果がそのまま使えて、このコースをとった場合のトータル時間は、
(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
最も時間がかかる地点の座標には、(1/2){√(p^2+q^2)+(√3)r}=(1/2){√((10+r)^2+q^2)+(√3)(10-p)}
という条件が加わる。面倒になってきたので、細かいことは省略するが、上の式で、p=q=rとして
省3
160(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)19:48 ID:+IjSdzOF(8/10) AAS
前>>154計算のつづき。
5+x/2√2+(x/2√2)(0.637910393)-5(0.637910393)+(10-x/√2)(1/sin57.465773447629°)=10.735371693
x=(5-3.189557196+11.8614066-10.735371693)/(0.838728105-0.353553391-0.225535382)
=11.309854(m)──救出地点までの直線距離
つきあたりから入水地点までの距離は、
10-(10-x/√2)(1+cosθ/sinθ)=10-(10-11.309854/√2)(1+0.637910393)
=6.71971502(m)
161(1): 2020/02/04(火)19:52 ID:3+QKrfHh(8/10) AAS
(7.886751345948,7.886751345948)に10.773502691896秒以内に到達できる地点を探せと言われて7.886751345948の全く出てこない式を立てるのはどういう頭の構造してんの？
162(1): 2020/02/04(火)20:14 ID:W/1szoPy(11/11) AAS
>>158
p≧q≧r という条件では、平面z=0 上に、最適コースが存在し、
までは理解できるのですが、
入水する点の座標が
(2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
が最適とはどうして分かるのでしょうか？
163(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)20:48 ID:+IjSdzOF(9/10) AAS
前>>160
>>161
救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
図を描いて8mぐらいかなぁと思ってたからいい値だと思った。
7.88……だと入水角度も入水地点も変わると思う。
7.88……がどうやって出た値かだよね。
xとθを両方とも微分するか、θで微分して、
x/√2=7.88……ってことなら、あるいはありうるかも。わるい値じゃない。
164: 2020/02/04(火)21:21 ID:3+QKrfHh(9/10) AAS
>>143
まぁしつこいからマジメにつっこむと
>これらと最初のコーナーまでの5秒を足すと救出時間は、
(1/sinθ)(10-x/√2)-(1/2cosθ)(10-x/√2)+(1/2)(10+x/√2)
xで微分し、
-1/sinθ√2+1/2cosθ√2+1/2√2=0とすると、
xで微分してそれが0になるθとはつまり到達地点(x,x)がどこにあろうと到達時間が一定であるようなθを探している事になる。
そんな地点は存在しないし実際wolfram大先生にグラフ書いてもらってもそんなθは存在してない。
外部ﾘﾝｸ:www.wolframalpha.com
にもかかわらずどこからかコレが解
省7
165(2): 2020/02/04(火)21:23 ID:VleZ36bS(4/4) AAS
>>162
>> 入水する点の座標が
>> (2p/d,2q/d,0) 但し、d=√(p^2+q^2)
>> が最適とはどうして分かるのでしょうか？
なるほど、紛らわしい書き方をしてしまったようです。申し訳ありません。
(2p/d,2q/d,0) というのは、入水地点ではなく、速度ベクトルです。
原点から、この方向に、時刻0 から 時刻 t まで移動すると、
(2pt/d,2qt/d,0)
に到ります。この地点から、目的地をみると、(p-2pt/d,q-2qt/d,r)という方向にあります。
このまま、この速度を維持したまま、進んだ方がいいか、戦略をβからαに切り替えた方がよいか、
省7
166(1): 2020/02/04(火)21:24 ID:THlBhxRo(1/2) AAS
>>143で救出までに最も長い時間
> 到達時間10+t=10.735371693(秒)
がかかる、と言っている点の座標はどこなん？
まあ、どこだろうが
> θ=57.465773447629°のとき、
の角度で行くより短時間のコースはあるわけだが
167(3): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/04(火)23:15 ID:+IjSdzOF(10/10) AAS
前>>163
>>166救出地点まで遠いほうの縁からの距離は、
11.309854/√2=7.99727446(m)
救出地点を座標でいうと、最初に監視員がいる地点を原点(0,0)、つきあたり方向にy軸をとり、
-xの方向に直角に曲がってy軸から6.71971502mの地点から、
θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
(x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
168(1): 2020/02/04(火)23:34 ID:3+QKrfHh(10/10) AAS
>>167
> θ=57.7465773447629°の方向に入水して、原点を出てから、10.735371693秒後に、
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
じゃあその(7.99727446, 7.99727446)の地点に60°で見込む点
(10, 6.841000330368)
から入水して何秒かかるかちゃんと計算してみたかね？
その数値は10.735371693より大きいかね？
そういう当たり前の確かめを一つもしないからダメダメなんだよ。
169: 2020/02/04(火)23:47 ID:THlBhxRo(2/2) AAS
>>167
座標
> (x,y)=(-7.99727446,7.99727446)に到達する。
までの最短時間は
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(π/3))/2+(10-7.99727446)/sin(π/3)/1≒7.3305
になり、、
(10+7.99727446-(10-7.99727446)cot(θ))/2+(10-7.99727446)/sin(θ)/1
θ=57.7465773447629°
の
> 10.735371693秒
省1
170(2): 【大吉】 2020/02/05(水)00:33 ID:C9wRmgDi(1/2) AAS
前>>167
>>168第?象限には水がないという設定です。
最速になる角度を探したんでほかの角度は60°と90°と45°ぐらい。
入水地点を決めてから角度を決めたんじゃなく、微分して角度が決まってから入水地点を計算した。
171: 2020/02/05(水)01:00 ID:gfGkl938(1) AAS
>>170
こんだけ言われてまだ何言われてるか理解できてないの？
どこまで頭悪いの？
みんなが60°で入水が最速である理由をあれだけ手を変え品を変えいろんな方法で示してたよね？
そのどれ一つとして理解できなかったとしても、そして自分が60°以外の角でより早い経路をみつけたとしても、最低限まず自分が見つけた地点に最速でいける方法がその角度なのか確かめてみろと言ってるんだよ。
なんでそんな簡単なことがわからん？
何よりそんな事まず自分で思いつかないの？
君のそのアポレスがどんだけスレの流れ乱してるからわからんの？
そのアポレスいつまで続けるん？
もう出てけよ。
172: 2020/02/05(水)01:06 ID:OkeImVJQ(1) AAS
思付直感数学
173(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/05(水)01:55 ID:C9wRmgDi(2/2) AAS
前>>170
問題見て最初に思いついたのがたしか60°だった。
縁と水中で速さが2:1だから。
その直感は正しいと思ってたけど、微分してθ=57.465773447629°と出て、到達時間を計算した。まだこの段階で半信半疑。
むしろ60°のとき計算したら10秒735切るぐらい速いはずと思って計算したら、
10秒9……って出て、あれ!? ってびっくりした。
θ=57.465773447629°のほうがθ=60°のときよりコンマ2秒速かった。
今は結果を受け入れてる段階。
174(3): 2020/02/05(水)06:23 ID:+pUSmyEU(1/2) AAS
>>165
解説ありがとうございました。
最後の方程式をWolframに解いてもらったら
人間技では扱えそうにない答になりました。
Solve[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r} . {2 (p/d), 2 (q/d), 0} == Norm[{p - 2 p (x/d), q - 2 q (x/d), r}] (Norm[{2 (p/d), 2 (q/d), 0}]/2), x, MaxExtraConditions -> Automatic]
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 - sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
8 d p^2 q^2 - 4 d q^4)/(2 (d^2 p^2 (q/d)^2 + d^2 p^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (p/d)^2 + d^2 q^2 (q/d)^2 - 4 p^4 - 8 p^2 q^2 - 4 q^4))
x = (d^3 p^2 (q/d)^2 + d^3 p^2 (p/d)^2 - d^3 q^2 (p/d)^2 + d^3 q^2 (q/d)^2 + sqrt(-d^6 p^2 (r)^2 (q/d)^4 - 2 d^6 p^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 +
d^6 (-p^2) (r)^2 (p/d)^4 - d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^4 - 2 d^6 q^2 (r)^2 (p/d)^2 (q/d)^2 - d^6 q^2 (r)^2 (q/d)^4 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 p^4 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (p/d)^2 + 8 d^4 p^2 q^2 (r)^2 (q/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (p/d)^2 + 4 d^4 q^4 (r)^2 (q/d)^2) - 4 d p^4 -
省1
175(1): 2020/02/05(水)08:43 ID:t1CV2afM(1/5) AAS
>>174
なぜ FullSimplify しない？
X=の最初の式を%とすると
FullSimplify[%, d > 0 && p > 0 && q > 0 && r > 0]
1/6 d (3 + (Sqrt[3] r)/Sqrt[p^2 + q^2])
176: 2020/02/05(水)09:26 ID:VrbXRcrj(1/2) AAS
>>174
165です。これは自戒を含めてのコメントになりますが、あの方程式は、手で簡単に計算できます。
お試しください。
177: 2020/02/05(水)09:41 ID:PzHdrrq1(1) AAS
>>175
ありがとうございます。
その機能をはじめて知りました。
178(1): 2020/02/05(水)14:10 ID:VrbXRcrj(2/2) AAS
>>174
「お試しください」と書きましたが、実際にお示しします。
あの戦略からの要請、二つのベクトル、P-Vt と V のなす角度がπ/3であるという方程式は
(P - V t).V=(1/2)*|(P -V t)|*|V|
と書けます。ピリオドはベクトルの内積、絶対値記号はノルムを表す記号としてます。
>>165では、無理矢理成分表示で、式を表していたため、見苦しくなりましたが、最初からこう書けばよかったですね。
|V|=2、P.V=p*(2p/d)+q*(2q/d)+r*0=2d、P.P=p^2+q^2+r^2=d^2+r^2 に注意して変形すると
P.V-t*V.V = |P -V t|
2d-4t = √(P.P-2t*P.V+4t^2)
16t^2-16td+4d^2=d^2+r^2-4td+4t^2
省3
179(6): 2020/02/05(水)14:25 ID:t1CV2afM(2/5) AAS
二次元平面上に無限に続く、1オームの抵抗で作られた正方形の格子において、
ナイトの動き(桂馬飛び)の位置にある2つのノード間の抵抗は
4/π-1/2 オームであることを示せ。
（Google入社試験 - 難易度を下げるために一部簡単化）
180(1): 2020/02/05(水)14:36 ID:298bnSpu(1/3) AAS
>>179
コレは電気抵抗の知識なくても解けるの？
Googleの試験だからそこは知らなくても推定しろなのかな？
とりあえずググったら長さに比例して断面積に反比例するというのしか見つからない。
外部ﾘﾝｸ[html]:kenkou888.com
181(1): 2020/02/05(水)14:38 ID:298bnSpu(2/3) AAS
あれ？
格子点と格子点を結ぶように1Ωの抵抗が繋がってるという意味？
もしかして？
182: 2020/02/05(水)14:55 ID:t1CV2afM(3/5) AAS
>>181
そうです。
>>179
の補足ですが、1オームの二次元無限格子の隣接ノード間の抵抗は
対称性の意味を知っていれば中学生で出せます。
より一般的には、任意の二つのノード間の抵抗は
有理数＋有理数×1/πであらわされることを示してください。
183: 2020/02/05(水)15:02 ID:t1CV2afM(4/5) AAS
>>180
前提となる物理知識は、中学生レベルのオームの法則とキルヒホッフの法則のみです。
184(1): 2020/02/05(水)15:28 ID:298bnSpu(3/3) AAS
つまりijにおける電位をe[i,j]として(0,0)から-1A、(2,1)に+1A流入してるとして
e[i+1,j]+e[i-1,j]+e[i,j+1]+e[i,j-1]-4e[i,j]
=δi0δj0-δi2δj1
のときのe[2,1]-e[0,0]かな？
留数定理の香りがする。
185: 2020/02/05(水)22:11 ID:+pUSmyEU(2/2) AAS
>>178
どうもありがとうございました。
d=√(p^2+q^2)の情報なしでwolframに入力したので複雑な答で表示されたのだと理解しました。
186: 2020/02/05(水)23:39 ID:t1CV2afM(5/5) AAS
>>184
ヒント
ローラン展開による母関数
E(z,w)=Σ[i,j:整数] e(i,j) z^i w^j
187(4): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/06(木)04:43 ID:Mv+y98sK(1) AAS
前>>173だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
188(1): 2020/02/06(木)06:18 ID:Ya801udz(1/2) AAS
>>187
前スレで
2chｽﾚ:math
が偏微分で極値を出している。
プログラムでの数値解と合致した。
立方体の方の計算にうつったら。
オリンピップールの直方体の方が計算のしがいがあると思う。
189: 2020/02/06(木)09:32 ID:tNI6h0TT(1) AAS
>>188
前スレの807を書いた者だが、極値は二つ出たが、807では採用する方を誤ってしまった。
訂正内容を824に記してあるので、807を見る場合は、824もセットで見て欲しい。
190(1): 2020/02/06(木)10:42 ID:5WVjoOPr(1) AAS
>>187
偏微分以外は全部決め打ちと思ってる時点でもうこのスレでレスできるレベルに到達してない。
191: 2020/02/06(木)22:27 ID:eS4p1xAB(1) AAS
> だれか入水角度60°の決め打ちじゃなくて、微分してみたって人いないかなぁ。
イナ以外で60°という角度を使っている人は、思い付きだけで使っているわけでなく、
書くまでもなく計算したり、スネルの法則等の定理を用いて60度を導出しているんだからな
192(1): 2020/02/06(木)23:33 ID:Ya801udz(2/2) AAS
タクシー料金の改訂
# 京浜地区
# 旧運賃（小型)
F1=740 # 初乗運賃 Fair
D1=2000 # 初乗り距離 initial Distance
C1=90 # 加算運賃 Charge by distance
B1=288 # 加算距離 charge By distancce
# 新運賃
F2=500
D2=1200
省5
193(2): 2020/02/07(金)01:43 ID:YN6u30Ej(1/5) AAS
>>187
横に１０ｍ走って縦に方向を変えてプールサイドからθの角度で座標(p,q）に向かって飛び込む時の所要時間は
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
角度を決めたら縦方向の走行距離が決まってしまう。
これを微分すればいい
D[5 + (q + (-10 + p) Cot[θ])/2 + Sqrt[(10 - p)^2 + (10 - p)^2 Cot[θ]^2], θ] をWolfram先生にお願いすると
省7
194(1): 2020/02/07(金)02:37 ID:JwTQ0wHH(1) AAS
>>192
8.88%をだしたいのなら、例えば、
100m利用、200m利用、...、6600m利用、6700m利用
の料金の合計を、新旧で比較すると、8.8位のアップになる。
1200m以下だと、新運賃は240円安い
1800m位から、逆転し、その後、じわじわ差が大きくなり、
4200m位から、240円位高くなる。
100mから4200m位をまんべんなく利用する人がいたとすると、この改定により、
利用額の増減はほとんど無いという解釈も可能。
距離が大きくなれば、値上げの効果がどんどん大きくなる。
省7
195(5): 2020/02/07(金)03:19 ID:9IJwzjmO(1) AAS
>>179
でけたかも。
まず(0,0)以外で漸化式
4e(i,j)=e(i+1,j) + e(i-1,j) + e(i,j+1) + e(i,j-1)
を満たす列を探す。
e(i,j)=∫[|x|,|y|<π] (1-cos((x+y)i)cos((x-y)j))/(1-cosxcosy)dxdy
がこの条件を満たす。
また|i|,|j|→∞で0に行く。
そこで点i,jに電荷はe[i,j]-e[2-i,1-j]となる。(多分解は一意、ノーチェック)
e[0,0]=0, e[2,1]=32π-4π^2
省11
196: 2020/02/07(金)08:18 ID:YN6u30Ej(2/5) AAS
>>194
レスありがとうございます。
距離と新旧運賃と差額のグラフのアップロードを忘れておりました。
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
与えられたデータだけからは平均値上げ率は算出できない思っていたのが確認できました。
ある距離までの乗客数が同じと仮定したときの平均の値上げ率をグラフにすると
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
> which.min((crs-0.0888)^2)
[1] 6869
> pir(6869)
省3
197(3): イナ ◆/7jUdUKiSM 2020/02/07(金)08:40 ID:VtLCtPNo(1) AAS
前>>187
>>193
角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。θで微分するか、θとxの両方で微分するかってとこですか。
198: 2020/02/07(金)10:21 ID:YN6u30Ej(3/5) AAS
>>197
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
Oから出発してAを経て角度θで入水してS(p,q)に泳ぐとする
AJの長さをxとすると
tan(θ)=(10-p)/(q-x)だから
x=q-(10-p)/tan(θ)
となり、
所要時間の計算からxは消去できて
10/2+((p-10)/tan(θ)+q)/2+sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
となる。
省1
199: 2020/02/07(金)15:11 ID:YN6u30Ej(4/5) AAS
>>197
>角度を決めたら泳ぐ距離が決まる。
違う、角度を決めたら走る距離も泳ぐ距離も決まる
200(2): 2020/02/07(金)15:12 ID:YN6u30Ej(5/5) AAS
走る距離 10+((p-10)/tan(θ)+q)
泳ぐ距離 sqrt((10-p)^2+((10-p)/tan(θ))^2)
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