リーマン・ルベーグの補題 (14ﾚｽ)
リーマン・ルベーグの補題 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/
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9: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 14:16:46.17 ID:MRa8IhVs I=[a, b]を有界閉区間、f(x)をI上可積分な関数、g(x)をsintxまたはcostxとし、A=∫[a, b]f(x)g(x)dxと置くと t→+∞の時、A→0となる。 a=bの時は自明。a<bとする。 fはI上可積分なので∀ε>0, ∃δ>0: d(Δ)<δとなるような、有界閉区間Iの∀分割Δに対して0≤S(Δ)-s(Δ)<ε/2となる。 fはI上可積分なのでI上有界である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/9
10: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 14:18:02.29 ID:MRa8IhVs すなわち ∀x∈I, ∃M>0: |f(x)|≤Mとなる ∀t>0, x∈I: |sintx|≤1かつ|costx|≤1 これらを満たす分割Δを1つ固定する。 |A|=|∑[k=1, n] ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(x)-f(xₖ)+f(xₖ))g(x)dx http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/10
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 14:18:24.67 ID:MRa8IhVs ≤|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ]|((f(x)-f(xₖ))g(x)dx| +|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx| ≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁| +|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))g(x)dx| http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/11
12: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 14:19:59.41 ID:MRa8IhVs g(x)=sintxの時、 ≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁| +|∑[k=1, n]| ∫ [xₖ₋₁, xₖ](f(xₖ))sintxdx| =∑[k=1, n] |Mₖ,-mₖ| |xₖ-xₖ₋₁| +|∑[k=1, n]| (costxₖ₋₁-cosxₖ)(M/t) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/12
13: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 14:20:55.06 ID:MRa8IhVs ≤S(Δ)-s(Δ)+2Mn/t 分割Δを1つ固定したのでnは一定である t₀=4Mn/εと置くと ∀t≥t₀: |A|<ε/2+ε/2=εとなる g(x)=costxの時も同様である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/13
14: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/22(土) 15:40:50.47 ID:MRa8IhVs S(n)=∑[k=1, n] n/(n²+k²)とする S(n)=∑[k=1, n] (1/n)/(1+(k/n)²) 区間[0, 1]=Iとする。 f(x)=1/(1+x²)とするとfはI上連続または単調減少なので可積分である。 S(n)はf(x)の、Iの1つの分割Δₙに対する1つのRiemann和である(n等分、代表点ξₖ=k/n) n→+∞の時、S(n)=∑f(ξₖ)Δₙ →∫[0, 1]dx/x²+1=Arctan1-Arctan0 =π/4-0=π/4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763581331/14
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