Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 78 (778ﾚｽ)
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 78 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/
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734: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 03:03:55.23 ID:7pfq1rhP 証明が有限長に制限されない論理においては当然>>658は成立しない。 >数学者の実感にはこっちの方が合ってるかも そこは重要じゃない。重要なのはこれ。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 一階述語論理は、数学のほぼ全領域を形式化するのに十分な表現力を持っている。実際、現代の標準的な集合論の公理系 ZFC は一階述語論理を用いて形式化されており、数学の大部分はそのように形式化された ZFC の中で行うことができる。すなわち、数学の命題は一階述語論理の論理式によって記述することができ、そのように論理式で記述された数学の定理には ZFC の公理からの形式的証明 (formal proof) が存在する。このことが一階述語論理が重要視される理由の一つである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/734
735: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 03:07:18.67 ID:7pfq1rhP 無限長の証明なんて理論上考えられても、人間もコンピュータも処理できないから使い物にならない！ 人間やコンピュータにとっては計算可能性という性質が大事。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/735
746: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 09:17:11.70 ID:7pfq1rhP >>742 >数学的帰納法も >P(0) >P(0)からP(1) >P(1)からP(2) >… >と素朴な認識を持った上で >P(n)からP(n+1) >もちろんnは標準的なNの元でね >そう一つにまとめて証明する手法としか認識してません それは誤認識。 ペアノ算術において数学的帰納法は公理、つまり数学的帰納法という命題が成立する体系を自然数と呼んでいる。 背理法とか条件付き証明とかといった証明に関する論理学の定理とは区別される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/746
751: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 09:45:53.93 ID:7pfq1rhP >>742 >Vについても >大方の数学者は認識すらしていないと思いますが >「すべての集合の集まり」という単一の存在と考える人がほとんどで >基礎論の人も大方そう考えてませんかね 集合論における論理式に∀xとか∃xとかが出てくるけど、このxってどこの空間の元？って疑問に思ったことない？ 答えを言うとモデルのドメイン（個体の集合）になるんだけど、実はそこを気にしても仕方無い。 なぜかと言うと、ある命題が証明できるかとか、証明された定理とか、証明にまつわるものしか関心が無いから。 一階述語論理の完全性定理の帰結として証明可能性と恒真（いかなるモデルでも真であること）性は一致してるからモデルを意識しても意味が無い。 だからと言って >Vについても・・・「すべての集合の集まり」という単一の存在 は嘘。というのがレーヴェンハイム–スコーレムの定理の帰結。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/751
760: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 10:59:13.16 ID:7pfq1rhP 崩壊したのは基礎論ではなく数学は完全無欠だあ！と思ってたヒルベルトやノイマンたちが目指したヒルベルト・プログラム http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/760
766: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 11:18:59.60 ID:7pfq1rhP スコーレムのパラドックス 絶対的可算の否定 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1763108561/766
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