平方剰余の相互法則 (17ﾚｽ)
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1: 11/02(日)01:06 ID:BophX2kU(1) AAS
平方剰余の相互法則について
2: 11/02(日)02:29 ID:1g2VqmK9(1) AAS
250種類の証明があるってマジ？
3: 11/02(日)04:26 ID:aEJ8h2v2(1) AAS
働け馬鹿者
4: 11/06(木)08:37 ID:fFV/WnYA(1) AAS
p, q: 奇素数
K = Q, L = Q(√q)
pZがLで完全分解
⇔ pがO_Lで可約
⇔ x^2 - qがZ/pZ上可約
⇔ (q/p) = 1
これは純粋に環論の性質
省10
5: 11/06(木)19:57 ID:0JXWfEhS(1) AAS
すばらしい
6: 11/07(金)15:06 ID:EiqN0Y3k(1) AAS
a を有理整数とし、ｐ、ｑを有理素数
とするとき、二次式 x^2-a が
F_p で分解するかどうかと、
F_q で分解するかどうかの間には
どのような関係があるか。
つまり [a/p] と [a/q] の間の関係。
[・／・]はルジャンドル記号。
7: 11/08(土)22:54 ID:Io1bP1bZ(1) AAS
L = Q(√d)
pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)
√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので
⇔ (d/p) = 1
なるほどなぁ・・・
8: 11/08(土)22:54 ID:R4mDxJGx(1) AAS
L = Q(√d)
pが完全分解
⇔ (p) = P1 P2
⇔ ∀x∈O_L, x^p ≡ x (mod Pi)
√d^(p-1) √d = d^(p-1)/2 √d ≡ (d/p) √p (mod Pi)なので
⇔ (d/p) = 1
なるほどなぁ・・・
9: 11/10(月)01:55 ID:ZpcA4zMA(1) AAS
h(a) := (a/p) (Legendre symbol)
H(a) := Σ h(x)exp(-2πiax/p)
H(ab)
= Σ h(x)exp(-2πiabx/p)
= Σ h(b^(-1)bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b^(-1)) Σ h(bx)exp(-2πiabx/p)
= h(b) Σ h(x)exp(-2πiax/p)
省1
10: 11/10(月)01:59 ID:7npihxgE(1) AAS
H(a^(-1))
= Σ h(x)exp(-2πia^(-1)x/p)
= Σ h(ax)exp(-2πix/p)
= h(a) H(1)
11: 11/10(月)02:42 ID:kN7dixgp(1) AAS
H(-1)^2 = p*
H(-1)^(q-1) ≡ (p*)^(q-1)/2 ≡ (p*/q) (mod q)
H(-1)^(q+1)
≡ H(-1)^(p-1) H(-1)^2
≡ (p*/q)H(-1)^2
≡ (p*/q)p* (mod q)
H(-1)^q
省6
12: 11/10(月)12:14 ID:aHbW1/8X(1) AAS
それはガウス和を用いた平方剰余の
相互法則の証明である。
では同じ手口で立方剰余、四乗剰余、
五乗剰余などの高次剰余の法則が
得られるのだろうか。
13: 11/10(月)21:04 ID:UCVj4EMa(1) AAS
できらぁ！
14: 11/10(月)21:26 ID:4qwhD/95(1) AAS
ルジャンドル記号のかわりにexp(2πik/n)に値を取る指標を使うのだそうだ
15: 11/11(火)06:02 ID:yJLrklHc(1) AAS
そして、有限アーベル群の指標の代わりに、アデール代数群の既約表現を使うのが保型表現だ
16: 11/11(火)15:34 ID:Xciw5HvP(1) AAS
やってみい。
17: 11/15(土)13:27 ID:nOE4hTfA(1) AAS
高次冪剰余の法則はどの程度まで
完全に掌握されているのだろうか？
すべて類体論でもって解決済みだ
といえるのだろうか？
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