行列とは何か (47ﾚｽ)

行列とは何か http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1760378250/

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32: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/15(水) 09:48:27.92 ID:MphqDkI/ n次正方行列、加法、減法、乗法が常に可能 零行列О→0、単位行列E→1と考えてよい場合がある 除法はスカラーの場合、a≠0ならば ab=1を満たすbがaにおうじて常に存在する。b=a⁻¹≠0 行列Aに対してAX=XA=Eとなる行列Xが存在する時、Aは正則である、Aは正則行列である。XをAの逆行列、X=A⁻¹ 行列の場合、A=Оならば逆行列は存在しない。これはスカラーと同じだが A≠Оであっても逆行列は存在しない場合がある (A⁻¹)⁻¹=A、c≠0⇒(cA)⁻¹=A⁻¹c⁻¹=c⁻¹A⁻¹ (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹、 正則行列全体の集合は群をなす Aが正則⇒A'、ᵗAも正則である 正方行列の対角部分に正方行列を置く区分けを対称な区分けと呼ぶことにする 対角行列、対角成分、 cE→cをスカラー行列 対角成分の和をtrA、固有和、跡、trace、spur 線型性、Tr(cA)=cTr(A)、Tr(A+B)=TrA+TrB 可換性、Tr(AB)=Tr(BA) 冪に関して指数法則が成り立つ AB=BA(可換)ならば(AB)ᵏ=AᵏBᵏ、A⁰=E 更にAが正則行列ならばA⁻ᵏ=(A⁻¹)ᵏ、A⁰=Eとして任意の整数kに対して指数法則が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1760378250/32

33: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/15(水) 10:24:17.03 ID:MphqDkI/ 線型写像T: ℂⁿ→ℂᵐ T(x+y)=T(x)+T(y)、T(cx)=cT(x) n=mの時、線型写像は線型変換と言う Tᴀ(x)=Axの時、TᴀをAによって定まる線型写像、Aを線型写像Tᴀの表現行列 T=Tᴀである。すなわち線型写像Tには行列Aで表される写像Tᴀ以外には存在しない。一意性 線型写像T: ℂⁿ→ℂᵐ全体と(m, n)型複素行列A全体には自然な一対一対応がある。 (n, n)型複素行列全体と線型変換T: ℂⁿ→ℂⁿ全体は一対一に対応する 恒等変換I: x→x、正則行列ならば逆変換T⁻¹が存在する。A⁻¹によって表される Tを線型写像T: ℝⁿ→ℝᵐ、 線型変換T: ℝⁿ→ℝⁿに制限しても Aが実行列になるだけで同じ話。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1760378250/33

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