行列とは何か (47ﾚｽ)

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34: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/16(木) 19:13:20.01 ID:TUIr2v03 基本行列と基本変形 左基本変形と右基本変形 i行とj行を入れ換える i行をc≠0倍する i行にj行のc倍を加える 列に関しても同様 基本行列は正則行列である i j→j i、i→ci、i→i+cj (p, q)を要として掃き出す Aの(p, q)成分=a≠0とする p行をaで割る。 a(i, q)≠0ならば、それ倍して引く。 A≠Оならばこのようにして 1を対角線上に並べた行列に変形される 残りの対角線上は0が並ぶ 1 1 1 0 0 0 n次行列で、基本変形すると1がr個並ぶとすると0がn-r個並ぶ。 数学的帰納法により、n次で1つ掃き出せばn-1次に帰着され帰納法の仮定によりn次が示される。 A 0 B 0 … 0 1 0 …0 C 0 D 0 (p, q)成分が1、その横と縦は全て0) ↓ これを 1 0 … 0 0 … F 0 と(1, 1)成分が1、それ以外の第1行、第1列は全て0と変形できる (m, n)型行列A₁が(m-1, n-1)型行列A₂に変形される A₁=1 ᵗ0 0 A₂ この到達点を標準形と呼ぶことにする 標準形は基本変形の仕方や順序によらず1つに定まる。一意性。 1の並ぶ数rを行列Aの階数Rankと言う RankA=r r=nの時、Aは正則。それ以外の時すなわちr<nの時、Aは正則ではない 基本変形によりA⁻¹を求めることができる (A E)が基本変形により(E B)と変形されるとするとB=A⁻¹ 。逆行列である もしEに達しないならばAは正則ではなかったということが分かる。正則性の判定と逆行列を求める事が同時に行われる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1760378250/34

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