イデアルって微分形式じゃん (50ﾚｽ)
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: 08/28(木)15:09
ID:jwc3iMJw(1)
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6: [] 2025/08/28(木) 15:09:38.24 ID:jwc3iMJw >>1 はい、この書き込みはちょっと数学的な誤解や混同が含まれている発言だと思われます。解説しますね。 1. 「イデアル」とは 環（ring）論に出てくる イデアル（ideal） は、環の部分集合で加法について閉じており、さらに環の任意の元を掛けてもまたその集合に入るようなものです。 例えば、整数環 ℤ のイデアルは nℤ（nの倍数全体） という形の集合です。 2. 「微分形式」とは 一方、微分形式（differential form） は微分幾何学や多様体論に出てくる概念で、積分や外微分（d演算子）と相性が良い対象です。例えば、1次微分形式 dx, dy, dz の組み合わせや、それを使った面積・体積要素のようなものです。 3. どうして「イデアル＝微分形式」みたいな発想が出るのか これはおそらく、多様体や代数幾何での「消える関数のイデアル」と「微分形式」の対応を混同しているのだと思います。 代数幾何では、点や部分多様体に対応して「そこに消える関数のイデアル」を考えます。 また、イデアルの生成元（関数）を微分すると、その「消え方」や「接空間」を捉えることができます。 特に「コッタン微分」や「カールタン微分形式（Cartan forms）」の議論では、イデアルと微分形式がある種の「同じ情報を表す別の見方」として出てきます。 4. 書き込みの意図 なので「イデアルって微分形式じゃん」というのは数学的に厳密には 間違い ですが、背景としては 代数幾何や多様体論ではイデアルと微分形式が「局所的に消えるもの」として対応する なのに、普通の教科書ではそこを直接つなげて説明してくれない という不満を口語的に書いたのだと思います。 ✅ まとめると： 「イデアル＝微分形式」ではありません。 ただし代数幾何や微分幾何の文脈では、イデアルで部分多様体を切り出す → その微分から接空間や微分形式を得る、という関係があるので、そこを直感的に「同じだ」と感じている可能性があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1756309744/6
はいこの書き込みはちょっと数学的な誤解や混同が含まれている発言だと思われます解説しますね イデアルとは 環論に出てくる イデアル は環の部分集合で加法について閉じておりさらに環の任意の元を掛けてもまたその集合に入るようなものです 例えば整数環 のイデアルは の倍数全体 という形の集合です 微分形式とは 一方微分形式 は微分幾何学や多様体論に出てくる概念で積分や外微分演算子と相性が良い対象です例えば次微分形式 の組み合わせやそれを使った面積体積要素のようなものです どうしてイデアル微分形式みたいな発想が出るのか これはおそらく多様体や代数幾何での消える関数のイデアルと微分形式の対応を混同しているのだと思います 代数幾何では点や部分多様体に対応してそこに消える関数のイデアルを考えます またイデアルの生成元関数を微分するとその消え方や接空間を捉えることができます 特にコッタン微分やカールタン微分形式 の議論ではイデアルと微分形式がある種の同じ情報を表す別の見方として出てきます 書き込みの意図 なのでイデアルって微分形式じゃんというのは数学的に厳密には 間違い ですが背景としては 代数幾何や多様体論ではイデアルと微分形式が局所的に消えるものとして対応する なのに普通の教科書ではそこを直接つなげて説明してくれない という不満を口語的に書いたのだと思います まとめると イデアル微分形式ではありません ただし代数幾何や微分幾何の文脈ではイデアルで部分多様体を切り出す その微分から接空間や微分形式を得るという関係があるのでそこを直感的に同じだと感じている可能性があります
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