Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (941ﾚｽ)
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866(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/20(水)16:34 ID:n7uBTsIt(5/5) AAS
つづき

Another example is the set of proper and bounded open intervals of real numbers with rational endpoints.
ZF+ACω suffices to prove that the union of countably many countable sets is countable. These statements are not equivalent: Cohen's First Model supplies an example where countable unions of countable sets are countable, but where ACω does not hold
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of dependent choice
In mathematics, the axiom of dependent choice, denoted by
DC, is a weak form of the axiom of choice (AC) that is still sufficient to develop much of real analysis. It was introduced by Paul Bernays in a 1942 article in reverse mathematics that explores which set-theoretic axioms are needed to develop analysis.[a]
省26

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880: 08/21(木)00:26 ID:LISQrQEJ(1/14) AAS
>>866
>１）いま、例示として 自然数N={0,1,2,・・}を取る
>　それを 素直に 整列させて 0,1,2,・・ とすれば 下記の順序数でいうところの列長さωになる
>　これは、可算選択公理 ACω で可能
>　ところが、もし 偶数を先に全部並べて後 奇数を並べると
>　0,2,4,・・・、1,3,5,・・・ となる。これは列長さω + ωであるから
>　可算選択公理では 一度には無理
省10

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901(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 08/21(木)11:21 ID:7NN/U5QB(1/3) AAS
>>872-882
ふっふ、ほっほ
　>>866の補足をしておく
１）まず 下記の従属選択公理
　全域二項関係 R を利用して
　『列 (xn)n∈N を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる』としている
　つまり、出来る列の長さは ω
省28

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