Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (670ﾚｽ)
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610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 16:30:27.48 ID:ZWqlQsZq

>>609
踏みつけたゴキブリが、うごめいているｗ
踏みつけられて悔しいか？ｗｗ　；ｐ）

１）「選択公理」は、整列可能定理と等価だという（ja.wikipedia）
　”どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである”
　任意無限集合Aにおいて、ある元a1を取出し残りをA1とする。次に A1から元a2を取出し残りをA2とする。これを可算or非可算任意の無限繰返せる
　取り出した a1,a2,・・を 可算or非可算任意の無限繰返せば、全ての元の整列ができる
　略証は こんな感じだ
　本格的な証明は en.wikipedia ”Well-order”と”Zorn's lemma implies the axiom of choice”を 百回音読せよｗ
２）さて、任意無限集合Aで 人は 好きに（任意に） 元 a1,a2,・・を取り出して並べていい
　集合Aで残りの部分に、整列可能定理を適用すれば それで済む、それで 集合Aの整列になる
３）>>601 ポール・コーエンの証明は、選択公理ではない（下記のja.wikipedia 選択公理 歴史 を百回音読せよｗ）
　コーエンの証明は、連続体仮説についてだよ（下記のja.wikipedia 連続体仮説 歴史 を百回音読せよｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理（英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
平行線公準以来、もっとも議論された公理である[2]
選択公理と等価な命題
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
略
応用
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
全ての体には代数的閉包が存在する。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウム（英語版）とアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/610

618: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 20:48:47.54 ID:w78+kS3p

>>612
ID:C2xh/shi ゴキブリの友かい？(旧知のおサルの友？)ｗ

>なぜなら無限回の繰り返しは決して完了しないので

それは違うよ
a)無限回の繰り返しは決して完了しないと考えることもできるし
b)無限回の繰り返しは決して完了すると考えることもできる

要するに、上記のa)b)とも、日常の数学の言葉だよね
何が言いたいか？ 日常の数学の言葉と 公理的集合論の言葉とは 全く異なるってことだ

つまり、公理的集合論の中では、”無限回の繰り返し”という操作は 定義されていない
従って、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できれば、上記のb)になる

逆に、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できない、あるいは定義しなければ 上記のa)になる
それだけのこと

で、グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
∵ 有限集合の有限の繰り返しで完結する話ならば、わざわざ集合論の公理をいじくるまでもないのだから

>>614
（引用開始）
ja.wikipedia 選択公理 歴史
「クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、
ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること
（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）
が示された。」
まず、ゲーデルが構成可能宇宙で選択公理が成立することを示した
そして、コーエンが強制法によって構成したモデルで選択公理が成立しないことを示した
(引用終り)

これは 大変失礼した。ご指摘ありがとう
>>610 自分で引用した ja.wikipedia 選択公理 歴史に
『クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された』
の記述があるのに、見過ごしていた
下記en.wikipediaにもう少し詳しい記述がある

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Independence
In 1938,[18] Kurt Gödel showed that the negation of the axiom of choice is not a theorem of ZF by constructing an inner model (the constructible universe) that satisfies ZFC, thus showing that ZFC is consistent if ZF itself is consistent. In 1963, Paul Cohen employed the technique of forcing, developed for this purpose, to show that, assuming ZF is consistent, the axiom of choice itself is not a theorem of ZF. He did this by constructing a much more complex model that satisfies ZF¬C (ZF with the negation of AC added as axiom) and thus showing that ZF¬C is consistent. Cohen's model is a symmetric model, which is similar to permutation models, but uses "generic" subsets of the natural numbers (justified by forcing) in place of urelements.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/618

627: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 22:22:41.46 ID:w78+kS3p

>>626
(引用開始)
>グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
>それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
無限回の繰り返しの例を示して。
ちなみに無限級数は無限回の足し算でないことは理解してる？
(引用終り)

すでに、>>610で 「選択公理」と 整列可能定理でしました
なお、関連で Georg Cantor en.wikipedia を引用しておく
ZFCより前の代の話だ
ZFCは、これら（Cantorやデデキントや、リーマンやコーシーら）の数学を公理化したもの
ついでに、ヒルベルトの無限ホテルを引用しておくよ（『その手順を無限に繰り返せることを示す』）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg Cantor
Cantor established the importance of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite and well-ordered sets, and proved that the real numbers are more numerous than the natural numbers. Cantor's method of proof of this theorem implies the existence of an infinity of infinities.
Mathematical work
(google訳)
絶対無限、整列定理、そしてパラドックス
1883年、カントルは無限を超限と絶対の二つに分けた。[ 60 ]
超限は大きさを増加させることができるが、絶対は増加できない。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。
一方、順序数は絶対的に無限の列を形成し、それより大きな順序数が存在しないため、大きさを増加させることはできない。[ 61 ]
1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理を提唱し、これを「思考の法則」であると述べた。[ 62 ]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス
無限個の客室があるホテルは「満室」でも（無限人の）新たな客を泊めることができ、その手順を無限に繰り返せることを示す。
パラドックスの内容
有限人の新たな客
1人の客が来てホテルに宿泊を希望したとする。そこで1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、n号室の客を(n + 1)号室に（同時に）移動させる。すると1号室は空室になり、1人の客を泊めることができる。この手順を繰り返すことで、任意の有限人の新たな客の部屋を作れる。
以下略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/627

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