Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (766ﾚｽ)
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571: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 06:36:14.54 ID:Wz/RxMvE

>>568-569
(引用開始)
＞例:
＞実数の区間 を考えてみましょう。
＞この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。
＞このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
上記は「実数の順序が整列順序でない」ことを示すのみであって、
実数全体の集合に、実数の順序と異なる整列順序をいれることができない、
という主張の証明ではない。
選択公理により、実数全体の集合の、空でない部分集合に対して、その代表元を選択する関数が存在する。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ、それな
下記
　>>509
>なにおまえ　たてつく気？
>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

とほざいていた ID:MtMWibfm くんに言ってあげてねｗ
なお、>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点からは

１）フルパワー選択公理を持つ ZFC公理系内では 実数の整列順序 は、存在する
　このとき、人は可能な限りの任意の整列順序を示すことが可能
　例えば、先頭に好きなr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　あるいは、任意の途中に 上記のr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　最初に 有理数のみを整列させて その後に無理数の集合を整列させるとか
　それらを、何度でも繰り返して良い
２）別の宇宙で フルパワー選択公理を否定して
　例えば、可算選択公理に制限したら？
　そのときは、実数を整列させることは不可能だ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
・可算選択公理

・従属選択公理
など

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/571

637: １３２人目の素数さん [] 2025/08/14(木) 10:52:36.75 ID:1dI79/KQ

>>571 補足
(引用開始)
>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点
(引用終り)

さて
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations. PDF (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
The various ZFC-models that we work with may be thought of as [but are not restricted to be!] the ZFC-models determined by various universes that are sets relative to some ambient ZFC-model which, in addition to the standard axioms of ZFC set theory, satisfies the following existence axiom [attributed to the “Grothendieck school” — cf. the discussion of [McLn], p. 193]:
P85
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

この 望月先生のIUT IV でのP67 用語 universe それは [McLn] (1969) が根拠らしいが
その後、数学の中での議論がいろいろあり
検索結果を辿ると、20世紀末には 用語”Conglomerate (set theory)”：これは universeの内部で クラスの集まり（なお クラスは集合の集まり）
という用語が考えられているらしい
Inter-universe という用語が、やはり問題のような気がする 今日この頃

(参考)
google検索：
S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969)

AI による概要（AI responses may include mistakes）
In his work "One Universe as a Foundation for Category Theory", S. MacLane explores the use of a Grothendieck universe to provide a foundation for category theory, particularly when dealing with large categories. He proposes that adding the axiom of the existence of at least one Grothendieck universe to ZFC set theory offers a suitable framework for this purpose, according to Mathematics Stack Exchange.
https://math.stackexchange.com/questions/4871271/zfc-grothendieck-universes-vs-mac-lanes-one-universe （asked Feb 27, 2024 kaba ）

Here's a breakdown of the key points:
Grothendieck Universe:
A Grothendieck universe is a set U that satisfies certain properties, including being closed under power sets, unions, and Cartesian products, and containing all the natural numbers.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/637

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