Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73 (975ﾚｽ)
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901: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 11:21:11.85 ID:7NN/U5QB

>>872-882
ふっふ、ほっほ
　>>866の補足をしておく
１）まず 下記の従属選択公理
　全域二項関係 R を利用して
　『列 (xn)n∈N  を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる』としている
　つまり、出来る列の長さは ω
２）次に Axiom of countable choice (可算選択公理)
　"That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that
　A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N."
　この場合も 『 f(n)∈A(n) for every n∈N』で 出来る列の長さは ω だが、全域二項関係 Rは使えない
３）Axiom of dependent choice(en.wikipedia) にあるように
"It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice."
　ってこと。ある意味 生成できる列が、各種選択公理の強さの尺度でもあるってことですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理(DC)とは、選択公理(AC)の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された
形式的な言明
まず、R on X 上の二項関係 R が全域関係であるとは、任意の a∈X, に対してある b∈X が存在して
aRb が成り立つことである
従属選択公理とは、次の言明である:
従属選択公理 ― 任意の空でない集合 X とその上の全域二項関係 R に対して、
列 (xn)n∈N  を全ての n∈N に対して xnRxn+1 であるように取れる
実のところ、x0 は X の好きな元を選ぶことができる。(これを見るには、x0 から始められる
R の有限鎖全体を考え、その中に右が左の延長であるという二項関係を考えてそこに従属選択公理を適用すれば有限鎖の無限列ができるので、それの和を取ればよい)
上での集合
X を実数全体の集合に制限したものを DCR で表す
使用例
このような公理が無いとしても、各 n について普通の帰納法によって最初の n 項を有限列としてとることはできる。従属選択公理が主張しているのは、その極限であるような可算無限列が取れるということである
公理 DC はACの断片であって、超限帰納法の各ステップで選択をする必要があって、それまでの選択に独立した選択ができない場合に、可算長の列を構成するのに必要である
他の公理との関連
完全な ACと違って、DCは(ZFの下で) 実数の不可測集合やベールの性質を持たない集合や perfect set property を持たない集合の存在を証明するのに不十分である。これはソロヴェイモデルにおいては ZF+DCが成り立ちながら実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持ち perfect set property を持つからである
従属選択公理は可算選択公理を導き、それより真に強い公理である
従属選択公理の一般化としてさらに長い超限列の生成を認めるものを考えることができる

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/901

902: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 11:21:50.16 ID:7NN/U5QB

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Relation with other axioms
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.

＜仏版のgoogle英訳＞
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9pendant
Axiom of dependent choice
Relationships with other axioms
Unlike AC in its full formulation, DC is insufficient (in ZF) to demonstrate that there exists an unmeasurable set of reals , or that there exists a set of reals which does not have the Baire property or without the perfect set property .
The axiom of countable choice is easily deduced from the axiom of dependent choice (consider, for a sequence ( A n ) of non-empty sets, the relation R on
⋃n∈N ∏k<n Ak defined by: sRt if s is equal to t minus its last element). It is much more difficult to prove that this implication is strict [ 4 ] .
Notes and references
2.This statement is equivalent to that of (en) Thomas Jech , Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded , Springer ,2003, 772  p. ( ISBN  978-3-540-44085-7 , online presentation  [ archive ] ) , p.  50, moving from one relationship to the reciprocal relationship .
https://books.google.com/books?id=WTAl997XDb4C&pg=PA50
4.(in) Thomas J. Jech, The Axiom of Choice , Dover ,2013( 1st ed  . 1973) ( read online  [ archive ] ) , p.  130, Th. 8.12.

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice
(可算選択公理)
The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function.
That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that
A(n) is a non-empty set for every n∈N, there exists a function f with domain N such that f(n)∈A(n) for every n∈N.
＜仏語＞
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable
＜google英訳＞
Axiom of Countable Choice
The axiom of countable choice , denoted AC ω , is an axiom of set theory which states that every countable set of non- empty sets must have a choice function , that is, for every sequence ( A ( n )) of non-empty sets, there exists a function f defined on N (the set of natural numbers ) such that f ( n ) ∈ A ( n ) for all n ∈ N.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
(説明で " f ( n ) ∈ A ( n ) for all n ∈ N"に触れていないからダメ)
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/902

904: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/21(木) 11:45:28.43 ID:7NN/U5QB

>>900
(引用開始)
＞そもそも添え字が無い。{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} は添え字付けられてないから。
　添え字の有無にこだわるな
　共通集合の対象が{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}の全体
　これが読み取れない◆yH25M02vWFhPが馬鹿
(引用終り)

口先でゴマカソウとしてないか？
　>>851より再録
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/55
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”ペアノ公理の自然数の集合論的構成 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
(引用終り)
追記
・de.wikipedia 独語Unendlichkeitsaxiom 英語Infinity axiom
・ここで 自然数 N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)} と スッキリ
・一方、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”ペアノ公理の自然数の集合論的構成
　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの”
　これは、ちょっとまずい
　記号∩が、公理から直接導けないので 公理の裏付けが不明確
・もちろん、”The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.”
　だから 意図は分かるが この文をそのまま 論理式に書き下したのかもねｗ　；ｐ）
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom
Unendlichkeitsaxiom
(google英訳)
Infinity axiom
Natural numbers
By the existence of at least one inductive set I together with the exclusion axiom,
the existence of natural numbers as a set is also ensured:
N:={x∈I∣∀z(z inductive ⟹ x∈z)}
The natural numbers are therefore defined as the intersection of all inductive sets, as the smallest inductive set.
Infinite quantities
Without the infinity axiom, ZF would only guarantee the existence of finite sets. No statements could be made about the existence of infinite sets. The infinity axiom, together with the power set axiom , ensures that there are also uncountable sets, such as the real numbers.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
数学的帰納法（英: mathematical induction）
(引用終り)

１）集合積∩の記号は 素朴集合論では 2項演算として導入され 添え字集合族に対して拡張されるのが一般的だろ
　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”については、一概にダメとは言っていない
２）要求していること：ZFCの公理系で 空集合Φ→有限自然数→無限集合N(自然数の集合)→有理数Qや実数R と数体系を整備するとき
　無限集合Nを ZFCの公理系 をキチンと導くことは 一丁目一番地で大事なことだよね
　問題視していることは、”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”が
　自然数N＝{0,1,2,・・・} を 導くことだ
　それを ZFCで証明しな

それが、出来ないからの 言い訳三昧なんでしょ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/904

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