Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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645: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/14(木) 14:44:11.01 ID:1dI79/KQ

>>644
望月IUTは、本質的に グロタンディークの圏論幾何 ＝遠アーベル幾何学 に立脚する
それに対して、単なる集合論とか 推論規則 ウンヌンカンヌンの批判は 的外れ
下記を、百回音読してね　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。
数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。
歴史
19世紀はじめのエヴァリスト・ガロアによる代数方程式に群を関連づける研究には圏論的な考え方の萌芽がみられる[要出典]。20世紀前半にはエミー・ネーターが抽象代数学（特に加群の理論）の形式化を行い、ネーターはある種の数学的構造を理解するためには、その構造を保つ対応関係を理解する必要があることを悟っていた[要出典]。1930年代後半から始まるニコラ・ブルバキの数学原論シリーズにおける集合論に基づいた数学の再構成の試みの中でも、構造、構造種と普遍性の概念が指導原理として取り上げられている[要出典]。
圏や関手、自然変換といったアイデアは代数的位相幾何学、特にホモロジー代数の研究から生まれた[1]。
その後 1950年代から 1960年代にかけてこの理論は、ホモロジー代数における様々な計算の抽象的な定式化を取り込むことによって、続いて、集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークらによって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/645

801: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/19(火) 14:08:28.01 ID:6UaSw7YM

ホイヨ

https://mathlog.info/articles/x4lObSnn03Hwffg1Gff7
(元)浪人生
大学数学基礎
ディリクレ積分類似の積分と級数の一致について 250817
予想
1以上の自然数kに対して、
∫ -∞〜+∞ {(sin x)/x}^k dx= Σ n=-∞〜+∞ {(sin x)/x}^k
が成り立つ。
上の予想は K=1,2,3,4,5,6 までしか成り立たず、
K >6では
左辺は依然(有理数)πの形になる一方で、
右辺はπのべき乗の線形結合となります。

参考文献に乗せた論文では、類似のsinc の積で表される総和と積分との一致についてより詳しく研究されているので、ぜひ読んでみてください。

参考文献
[1]Baillie, R., Borwein, D., & Borwein, J. M. , Surprising Sinc Sums and Integrals., The American Mathematical Monthly, 2007

https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function
Sinc function
https://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0
sinc関数

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E7%A9%8D%E5%88%86
ディリクレ積分
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx
これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分では可積分でない。ディリクレ積分の名は数学者ペーター・グスタフ・ディリクレから取られている。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_integral
In mathematics, there are several integrals known as the Dirichlet integral, after the German mathematician Peter Gustav Lejeune Dirichlet, one of which is the improper integral of the sinc function over the positive real number line.
∫ 0〜+∞ {(sin x)/x} dx = π/2
This integral is not absolutely convergent, meaning
|(sin x)/x| has an infinite Lebesgue or Riemann improper integral over the positive real line,
so the sinc function is not Lebesgue integrable over the positive real line. The sinc function is,
however, integrable in the sense of the improper Riemann integral or the generalized Riemann or Henstock–Kurzweil integral.[1][2] This can be seen by using Dirichlet's test for improper integrals.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/801

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