Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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571: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 06:36:14.54 ID:Wz/RxMvE

>>568-569
(引用開始)
＞例:
＞実数の区間 を考えてみましょう。
＞この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。
＞このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
上記は「実数の順序が整列順序でない」ことを示すのみであって、
実数全体の集合に、実数の順序と異なる整列順序をいれることができない、
という主張の証明ではない。
選択公理により、実数全体の集合の、空でない部分集合に対して、その代表元を選択する関数が存在する。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ、それな
下記
　>>509
>なにおまえ　たてつく気？
>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？
>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

とほざいていた ID:MtMWibfm くんに言ってあげてねｗ
なお、>>499の 2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
における Multiverseの視点からは

１）フルパワー選択公理を持つ ZFC公理系内では 実数の整列順序 は、存在する
　このとき、人は可能な限りの任意の整列順序を示すことが可能
　例えば、先頭に好きなr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　あるいは、任意の途中に 上記のr1,r2,r3,・・と並べて 残りを 選択公理にお任せとか
　最初に 有理数のみを整列させて その後に無理数の集合を整列させるとか
　それらを、何度でも繰り返して良い
２）別の宇宙で フルパワー選択公理を否定して
　例えば、可算選択公理に制限したら？
　そのときは、実数を整列させることは不可能だ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
・可算選択公理

・従属選択公理
など

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/571

579: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 10:29:04.00 ID:aPIgSDun

>>573-576
ふっふ、ほっほ
分かってないね

１）実数Rの整列において、人は 思いつく限り、想像できる限り、能力の限りの勝手気ままが可能だよ
　例えば、区間[0,1)の実数を整列させ、次に区間[1,2)の実数を整列させ、残りはお任せとか
　あるいは、自分の知る限りのri∈Rをすきに整列させ、残りはお任せとか
２）この ”勝手気まま”の部分は、人の数学能力による制約であって
　未来の人類の数学能力が上がれば 勝手気ままの範囲はどんどん広くなるんだ
３）すべてを ”勝手気まま”にできないのは、結局は 人の数学的能力の制限から来る
　例えば、実数r∈R を具体的に構成できないのだし
　やっていることは、コーシー列とか デデキント切断とか
　抽象的なことであって、全く具体的ではないよね
４）例えば、下記 超越数
　”円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”
　こような様（ざま）では、有理数でさえ 具体的な整列は不可能
　∵ 有理数の集合Qが 構成的でないから、e+π,e-π,eπ を整列に含めるか否かが決まらない！
５）だから、現状で 人類の数学能力を超えた部分が出てくるので そこは公理を置くしかない
　公理を設定して 先に進むしかないのだよ。それが 数学公理の意味なのさｗｗ　；ｐ）

追伸
自然数Nの中の小さな集合
素数の集合でも同じことがおきている
つまり、素数を 2,3,5,7,11,・・・ と これを可算無限個 全部 列記し整列する能力があれば
リーマン予想は解決できるだろうｗｗ
なぜならば、リーマン予想は素数の分布と密接に結びついているよｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e-π,eπ・・・などの 円周率πやネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/579

580: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/12(火) 10:55:02.37 ID:aPIgSDun

>>579 補足
>素数を 2,3,5,7,11,・・・ と これを可算無限個 全部 列記し整列する能力があれば

そういえば、素数間隔の話があったね（下記）
張益唐に、ジェームズ・メイナード
ジェームズ・メイナードは、2022年にフィールズ賞をゲット

こんなのは、結局は 人類の能力の限界なんだわ
可算無限個の素数をすべて列挙して 素数の集合を確定させる能力があれば

素数をすべて、普通の大小関係で並べて、二つの素数間隔を全部調べることができれば、なんということもないｗ
だが、人は可算無限個の素数をすべて列挙する能力（それは 整列させる能力と同じ）がない
だから、「ジェームズ・メイナード、 あんたはえらい！ フィールズ賞だ！！」となったのですｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%93%E9%9A%94
素数の間隔（prime gap）は、連続する2つの素数の差。gn もしくは g(pn) で表される n 番目の素数の間隔は、n + 1 番目の素数と n 番目の素数の差である。
さらなる結果
上限
1896年に証明された素数定理は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(p)に近づくという内容である。
2013年、張益唐は
lim inf n→∞gn<7⋅10^7,
を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である[21]。
張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した[22]。
2013年11月、ジェームズ・メイナードはGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意のmについて、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した[23]。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した[22][24]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%A0%E3%82%BA%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%83%89
ジェームズ・メイナード（James Maynard, 1987年6月10日 - ）
2022年、フィールズ賞を受賞[4]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/580

610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 16:30:27.48 ID:ZWqlQsZq

>>609
踏みつけたゴキブリが、うごめいているｗ
踏みつけられて悔しいか？ｗｗ　；ｐ）

１）「選択公理」は、整列可能定理と等価だという（ja.wikipedia）
　”どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである”
　任意無限集合Aにおいて、ある元a1を取出し残りをA1とする。次に A1から元a2を取出し残りをA2とする。これを可算or非可算任意の無限繰返せる
　取り出した a1,a2,・・を 可算or非可算任意の無限繰返せば、全ての元の整列ができる
　略証は こんな感じだ
　本格的な証明は en.wikipedia ”Well-order”と”Zorn's lemma implies the axiom of choice”を 百回音読せよｗ
２）さて、任意無限集合Aで 人は 好きに（任意に） 元 a1,a2,・・を取り出して並べていい
　集合Aで残りの部分に、整列可能定理を適用すれば それで済む、それで 集合Aの整列になる
３）>>601 ポール・コーエンの証明は、選択公理ではない（下記のja.wikipedia 選択公理 歴史 を百回音読せよｗ）
　コーエンの証明は、連続体仮説についてだよ（下記のja.wikipedia 連続体仮説 歴史 を百回音読せよｗｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理（英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
平行線公準以来、もっとも議論された公理である[2]
選択公理と等価な命題
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
略
応用
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
全ての体には代数的閉包が存在する。
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウム（英語版）とアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/610

611: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 16:30:57.41 ID:ZWqlQsZq

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
Reals
The standard ordering ≤ of any real interval is not a well ordering, since, for example, the open interval ⁠
(0,1)⊆[0,1]
⁠ does not contain a least element. From the ZFC axioms of set theory (including the axiom of choice) one can show that there is a well order of the reals. Also Wacław Sierpiński proved that ZF + GCH (the generalized continuum hypothesis) imply the axiom of choice and hence a well order of the reals. Nonetheless, it is possible to show that the ZFC+GCH axioms alone are not sufficient to prove the existence of a definable (by a formula) well order of the reals.[3] However it is consistent with ZFC that a definable well ordering of the reals exists—for example, it is consistent with ZFC that V=L, and it follows from ZFC+V=L that a particular formula well orders the reals, or indeed any set.

https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17] (The structure of the proof is exactly the same as the one for the Hahn–Banach theorem.)
略
ssentially the same proof also shows that Zorn's lemma implies the well-ordering theorem: take
P to be the set of all well-ordered subsets of a given set
X and then shows a maximal element of
P is X.[18]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E4%BB%AE%E8%AA%AC
連続体仮説
歴史
1963年、ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて「ZFC から連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した
コーエンはこの業績により、1966 年にフィールズ賞を受賞している
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/611

618: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/13(水) 20:48:47.54 ID:w78+kS3p

>>612
ID:C2xh/shi ゴキブリの友かい？(旧知のおサルの友？)ｗ

>なぜなら無限回の繰り返しは決して完了しないので

それは違うよ
a)無限回の繰り返しは決して完了しないと考えることもできるし
b)無限回の繰り返しは決して完了すると考えることもできる

要するに、上記のa)b)とも、日常の数学の言葉だよね
何が言いたいか？ 日常の数学の言葉と 公理的集合論の言葉とは 全く異なるってことだ

つまり、公理的集合論の中では、”無限回の繰り返し”という操作は 定義されていない
従って、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できれば、上記のb)になる

逆に、ある事象について ”無限回の繰り返し”という操作を 公理的集合論の中で 定義できない、あるいは定義しなければ 上記のa)になる
それだけのこと

で、グロタンディークを含む希代の天才数学者たちは、ZFCが狭いと思ったら 自分たちのやりたい数学ができるように ZFCに拡張してきたのです
それは、当然 無限集合に対する操作であったり 無限の繰り返しであったりしたわけだ
∵ 有限集合の有限の繰り返しで完結する話ならば、わざわざ集合論の公理をいじくるまでもないのだから

>>614
（引用開始）
ja.wikipedia 選択公理 歴史
「クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、
ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること
（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）
が示された。」
まず、ゲーデルが構成可能宇宙で選択公理が成立することを示した
そして、コーエンが強制法によって構成したモデルで選択公理が成立しないことを示した
(引用終り)

これは 大変失礼した。ご指摘ありがとう
>>610 自分で引用した ja.wikipedia 選択公理 歴史に
『クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された』
の記述があるのに、見過ごしていた
下記en.wikipediaにもう少し詳しい記述がある

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
Independence
In 1938,[18] Kurt Gödel showed that the negation of the axiom of choice is not a theorem of ZF by constructing an inner model (the constructible universe) that satisfies ZFC, thus showing that ZFC is consistent if ZF itself is consistent. In 1963, Paul Cohen employed the technique of forcing, developed for this purpose, to show that, assuming ZF is consistent, the axiom of choice itself is not a theorem of ZF. He did this by constructing a much more complex model that satisfies ZF¬C (ZF with the negation of AC added as axiom) and thus showing that ZF¬C is consistent. Cohen's model is a symmetric model, which is similar to permutation models, but uses "generic" subsets of the natural numbers (justified by forcing) in place of urelements.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/618

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