Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 73

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475: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/10(日) 20:38:26.49 ID:f12p+Q2v

>>470
>そういやも一つ言い訳してたな。「IUTの推論は現行数学のそれと大差ないからわざわざする必要もない」とかなんとか

真逆だよ 下記
望月新一 感想・着想 2009年02月11日
の通り、”(a) Frobenioid I, IIの理論”、”(b) Etale Thetaの理論”など、現行数学とは全く異なるよ
そして、2009年02月から3年半の2012年8月30日に IUTのプレプリが公開された https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/thoughts-japanese.html
望月新一 感想・着想
2009年02月11日
　・IUTeichの論文を昨年の7月から執筆しているが、最近の進捗状況について
　　報告する。まず、2008-03-25の報告（過去と現在の研究を参照）では、
　　この理論を二篇の論文に分けて書く予定であると書いたが、この半年
　　余りの間、（論文一篇の長さが100ページを大幅に超過しないように）
　　理論を三篇の論文に分割して書くことに方針を変更した。現時点で
　　考えている題名は次の通りである：
　　　IUTeich I: Construction of Hodge Theaters
　　　IUTeich II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation
　　　IUTeich III: Canonical Splittings
　　このうち、IUTeich I は（イントロを除いて）一通り書き終わっていて、
　　IUTeich IIを書き始めているところである。これまでのペースで作業が
　　進めば、（2008-03-25の報告で予定した通り）2010年末までに一通り
　　書き終わる見通しであるが、もちろんこれについては現時点では何も
　　保障できない。
　　IUTeich I では、
　　　　　　　　　　　　　(a) Frobenioid I, IIの理論
　　の他、
　　　　　　　　　　　　　(b) Etale Thetaの理論
　　や
　　　　　　　　　　　　　(c) Absolute Topics IIIの理論
　　の、非自明ながら比較的表面的な部分を、本質的な形で利用したが、
　　IUTeich II では、(b)の最も深い部分を使う予定である。一方、
　　IUTeich III では、(c)の最も深い部分を適用する予定である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/475

479: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/10(日) 23:04:26.05 ID:f12p+Q2v

>>476-478

面白いやつらだなｗ　；ｐ）
スレ主です
そもそも このIUT応援スレと
あっちの Inter-universal geometry とABC 予想58 スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1749926306/l50
とで、棲み分けしてんじゃなかったか？ うん？ ふっふ、ほっほ ｗｗｗ　（＾＾

>深いとか表面的とかそういうトラッシュトークではなくIUTの言語が一義的でないことに反省の弁を述べるべき

ガッハハ
”IUTの言語が一義的でない”？
それ証明できる？
証明できるならば、論文書きなよ 下記のChallenger Prize 100万ドル狙えるよ
まずは、arXive 投稿からな
arXive投稿できて 日付がついて 優先権が確保できたら 教えてくれや
その”IUTの言語が一義的でない”の立証論文を読むからよｗ
そして、それが正しいならば『MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載』を狙いって投稿しなｗ
査読者には、論文が通って 100万ドルゲットしたら 「半分渡す」と言え！ 通して貰える確率上がるからｗｗ
いや、そうでなくとも arXive投稿段階で 証明が正しければ 数学界で センセーショナルの話題になるぜよｗｗｗ
まあ、ありえんけどねｗｗｗ

>脳内デンパってどういう意味じゃゴミ

google検索：脳内デンパってどういう意味？
元々は「頭の中に何者かからの声、思考、指示、妨害が電波で届く」と訴える人のことを指していた。
こういう被害妄想の症状を発する者（統合失調症かつての精神分裂症患者に多い）は、かつて電波が一般的でなかった時代は「動物」や「霊」によるものともされ、「狐憑き」などと呼ばれていた。
「電波系」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書
https://www.weblio.jp/content/%E9%9B%BB%E6%B3%A2%E7%B3%BB

(参考)
https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介
2023年7月、株式会社ドワンゴ創業者の川上量生氏は、個人としてIUT Challenger Prizeの創設を発表しました。
これは京都大学数理解析研究所教授の望月新一教授によって創始された宇宙際タイヒミュラー理論（Inter-universal Teichmüller theory）の「本質的な欠陥」を明らかにした最初の論文に100万ドルを贈呈するというものです。
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたものに限ります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/479

491: １３２人目の素数さん [] 2025/08/11(月) 09:38:38.43 ID:iGLBvSqQ

>>484
ありがとう

１）その Quomodocumque を掘っていくと、Jordan S. Ellenberg に辿り着く
　Ellenbergの名前は聞いたことがある。結構有名
２）で、その Quomodocumque は 2012だが、Re-update で ”Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow”
　それに ”the best place to start may be Mochizuki’s 2000 paper “A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I.””
　とあって、IUTに否定的ではなく結構興味はあるみたいだ
　なお、Minhyong Kim は、NHKの番組でも出ていたが IUT肯定派です
３）”taoが望月集合論はabc証明の後に出てきて・・実は引用もせずにがっつり使ってましたというお話”
　は、グダグダだよ
　taoが言ったのは、これだけの大論文で 途中に数論で使える系がない 最後の結論でabc予想証明になるのは なんだか
　ということだったが、IUTが圏論を使った abc 不等式を導く理論とすれば、”途中に数論で使える系がない”も頷ける
　望月集合論 の話は、かれが ZFCGがZFCの保存拡大と誤認していたってことだよ
（下記 宇宙際タイヒミュラー理論 - Yourpedia 見てね。今は修正されている）

(参考)
https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/
Quomodocumque
Sep 03 2012
Mochizuki on ABC
[Re-update:  Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow is the most well-informed public discussion of Mochizuki’s strategy.  (Of course, it is still very sketchy indeed, as Minhyong hastens to emphasize.)   Both Kim’s writeup and discussions I’ve had with others suggest that the best place to start may be Mochizuki’s 2000 paper “A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I.”https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/A%20Survey%20of%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20I.pdf ]

https://quomodocumque.wordpress.com/about/
About
I’m a math professor at the University of Wisconsin, Madison. The purpose of this blog is to record interesting things I read, see, eat, hear, or otherwise encounter. My professional page is here.
https://people.math.wisc.edu/~ellenberg/
Jordan S. Ellenberg

https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_Ellenberg
Jordan Stuart Ellenberg (born October 30, 1971)
Early life
He participated in the International Mathematical Olympiads three times, winning gold medals in 1987 and 1989 (with perfect scores) and a silver medal in 1988.[6]
He returned to Harvard for his Ph.D., completing his doctoral studies under the supervision of Barry Mazur in 1998.
Personal life
He maintains a blog called Quomodocumque which means "after whatever fashion" in Latin.[25]

宇宙際タイヒミュラー理論 - Yourpedia
2022/09/10 — 宇宙際タイヒミュラー理論 は2012年に望月新一による Inter-universal Teichmuller Theory と題された一連の論文の中で展開された理論である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/491

494: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 11:42:17.47 ID:f34iaqr/

>>491 追加
(引用開始)
２）で、その Quomodocumque は 2012だが、Re-update で ”Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow”
　それに ”the best place to start may be Mochizuki’s 2000 paper “A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I.””
　とあって、IUTに否定的ではなく結構興味はあるみたいだ
　なお、Minhyong Kim は、NHKの番組でも出ていたが IUT肯定派です
(引用終り)

＜追加＞
１）”Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow”は、下記
https://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture/106658
Philosophy behind Mochizuki's work on the ABC conjecture
Asked 12 years, 11 months ago Sep 7, 2012
回答 216 edited Jun 9 at 14:16  Minhyong Kim

２）なお『2018年3月、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが京都大学を訪れ、望月と星裕一郎は彼らと5日間議論し[21][22]、双方による議論のレポートの作成につながった』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
　であって、Ellenberg は、この2018年を知ったうえで  ”the best place to start may be Mochizuki’s 2000 paper”
　に気づこうね
　つまり、Ellenberg は 2018年のショルツェ氏乗りではない
　” Mochizuki’s 2000 paper”乗りだね （＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/494

496: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 13:09:50.38 ID:f34iaqr/

>>490
>>（ZFCの）公理と矛盾しない文をいくらでも公理と追加しても証明できなければならない。

なんだかな〜ｗ
ZFCを基準にしているのが、なんだかね ；ｐ）

一つ例をあげよう
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/9438.html
数学セミナー 　2025年3月号
集合論の雑学――無限についてのおはなし
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
　　……池上大祐　60

これで、池上大祐回答「わからない」だった
つまり、フェルマーの最終定理の証明には グロタンディークの代数幾何の成果が縦横に使われ
それは 圏論使用なので、グロタンディーク宇宙 つまり望月氏の用語で ZFCGの中

だが、冷静に考えると X^n+Y^n=Z^n (X,Y,Z,n は整数で n≧３)
Z≠0として  (X/Z)^n+(Y/Z)^n=1 と書き直すと X/Z、Y/Z は有理数 とできる
モーデル予想 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
で、『有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たない』が成立
有限個の有理点→0個 にするだけのことだから
ZFC内の証明が見つけられることを だれも否定できまい

さて、 グロタンディークの代数幾何  圏論 グロタンディーク宇宙（ZFCG）使いまくり のメリットは？
たとえ話で、あたかも 地球上のP地点からQ地点へ行くのに、一旦宇宙空間を経由して P→Q へ行くが如し
地球上ではP地点からQ地点は見えないし、その途上に山あり谷あり川あり海ありの 難行苦行だとする
だから、ZFCGの宇宙空間へ出る方が 障害物なく 見通しもよい

似たことは古代からあって、ガウス整数や 実解析を複素関数に拡張するが如しです

さて、話を 望月IUTに戻すと 彼は ZFCG グロタンディーク宇宙 圏論 使ってますと 白状しているわけだよ
それに対して、ZFCを基準にして ウンタラカンタラの議論が あほくさいよね ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/496

499: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 15:40:03.04 ID:f34iaqr/

>>497-498
>well-definedではないZFCGを使うんだったら

ふっふ、ほっほ
妄想のお二人 基礎論ど素人さんｗ

『well-definedではないZFCG』？
まず、下記の 薄葉季路（早大理工） 2017春
最後から２枚目と最後とをみてちょ

21世紀のいまどきの 基礎論 宇宙の話が分かるから
分からない人は、薄葉季路先生に聞いてくださいね

基礎論ど素人さんが、妄想でグダグダ言ってもねｗ ；ｐ）

そもそも 下記のIUT IVの Bibliography [McLn] を否定するつもりかい？
ならば、論文かきなよ 『[McLn]は 間違いだぁー』ってよｗ　（＾＾

(参考)
https://www.mathsoc.jp/section/logic_and_history/Tokubetu.html
日本数学会
数学基礎論および歴史分科会 特別講演
2017春(首都大東京) 薄葉季路（早大理工） 集合論の宇宙 -UniverseとMultiverse- (企画特別)
https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse— 薄葉 季路 (早大理工) 2017年3月
https://youtu.be/WQzlEj1g71M?t=1
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20IV.pdf
[4] Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.  (2020-04-22)
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
We shall refer to such models as ZFC-models. Recall that a (Grothendieck) universe V is a set satisfying the following axioms [cf. [McLn], p. 194]:
略
We shall refer to a ZFC-model that also satisfies this additional axiom of the Grothendieck school as a ZFCG-model.

Bibliography
[McLn] S. MacLane, One Universe as a Foundation for Category Theory, Reports of the Midwest Category Seminar III, Lecture Notes in Mathematics 106, SpringerVerlag (1969).

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/499

505: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 18:11:08.65 ID:f34iaqr/

>>501
>他の人が誤解しないように言っておくと
>Ellenbergは当然iutに批判的だ

ふっふ、ほっほ
私も 他の人が誤解しないように言っておく

Barry Mazur Questions about Number  これのリンクが切れているが
en.wikipedia abc conjecture External linksに Archivedのリンクがあった。これが 2012-09-16 らしい

さて、Re-update で Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow が、 Sep 9, 2012 のころか
”（google訳）Math Overflowにおけるキム・ミンヒョン氏の議論は、望月氏の戦略に関する最も情報に富んだ公開討論である。（もちろん、ミンヒョン氏が強調するように、それはまだ非常に大まかなものである。）”
だから、この時点では 望月に否定的ではない
では、2025年8月現在はどうか？ まあ、聞ける人がいたら 現時点での意見を 聞いてみてほしいね

追伸
もし、ショルツ先生の意見が決定打と思っているならば、３回目のUpdateが あるんじゃないの？ｗ ；ｐ）
要するに、ある人が 過去のある時点で 望月IUTに否定的であったとしても 2025年8月時点でどう思っているのか？
その確認無しに 過去がこうだった だけを言うのはヘンですよ

>>491 より ＜ここで２回のUpdateがあるよ＞
https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/
Quomodocumque
Sep 03 2012
Mochizuki on ABC
[Update:  Lots of traffic coming in from Hacker News, much of it presumably from outside the usual pro number theory crowd that reads this blog.  If you’re not already familiar with the ABC conjecture, I recommend Barry Mazur’s beautiful expository paper “Questions about Number.”http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf]
[Re-update:  Minhyong Kim’s discussion on Math Overflow is the most well-informed public discussion of Mochizuki’s strategy.  (Of course, it is still very sketchy indeed, as Minhyong hastens to emphasize.) ＊）  Both Kim’s writeup and discussions I’ve had with others suggest that the best place to start may be Mochizuki’s 2000 paper “A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I.”]
＊）（google訳）Math Overflowにおけるキム・ミンヒョン氏の議論は、望月氏の戦略に関する最も情報に富んだ公開討論である。（もちろん、ミンヒョン氏が強調するように、それはまだ非常に大まかなものである。）

（追加参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture
abc conjecture
External links
Questions about Number Archived 2012-09-16 at the Wayback Machine by Barry Mazur
（Archivedのリンク https://web.archive.org/web/20120916144112/http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf (注 ページ下の手打ちが64で pdfが62となっていた。なお、ここには 望月IUTの話は全くありません)）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/505

515: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 20:47:01.42 ID:iGLBvSqQ

>>514
>＞ふっふ、ほっほ
>　ホモ？

お答えします
ふっふ：つい含み笑いがもれて ”ふっふ”となる
ほっほ：面白いことをいうやつらだと”ほっほ(ぅ)”（(ぅ)は省略）となるｗ　；ｐ）

>>513
ご苦労さまです
「はい カガミ」ｗ

>>507-512
>いいからオチコボレは数学板から消えろ　目ざわりなんだよ
>いいかげん自分がうざがられてると気付け　このオチコボレが

三歳児かよ？　（＾＾
　>>1より テンプレで
『このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！』
とあるでしょ
おれが 書いたんだよ！ オレだよ オレオレ オレがスレ主だよ！！ （＾＾
消えるのは、三歳児のおまえだ！
ここは、子供の来る場所じゃ無い！！ｗｗｗ

>じゃあ実数の整列順序示せ　好きなように整列できるんだろ？

何を仰る三歳児ｗ
下記を百回音読してねｗｗ

https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
Georg Cantor
(google訳)
集合論
絶対無限、整列定理、そしてパラドックス
1883年、カントルは無限を超限と絶対の二つに分けた。[ 60 ]
超限は大きさを増加させることができるが、絶対は増加できない。例えば、順序数αはα+1まで増加できるため超限である。一方、順序数は絶対的に無限の列を形成し、それより大きな順序数が存在しないため、大きさを増加させることはできない。[ 61 ] 1883年、カントールは「すべての集合は整列可能である」という整列原理を提唱し、これを「思考の法則」であると述べた。[ 62 ]
カントルは絶対無限に関する研究を、それを証明に用いることで拡張した。1895年頃、彼は整列原理を定理とみなし始め、その証明を試みた。
1908年、ツェルメロは集合論の公理系を発表した。公理系開発の動機は2つあった。パラドックスの排除と、整列定理の証明の確実化である。[ 68 ]ツェルメロは1904年に選択公理を用いてこの定理を証明したが、その証明は様々な理由から批判された。[ 69 ]彼はこの批判に対する回答として、公理系と整列定理の新たな証明を提示した。彼の公理はこの新たな証明を裏付け、集合の形成を制限することでパラドックスを排除している。[ 70 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
(google訳)
整列定理（ツェルメロの定理とも呼ばれる）は、すべての集合は整列可能であることを述べています。集合Xが完全順序で整列しているとは、 Xのすべての空でない部分集合がその順序付けのもとで最小の元を持つことを意味します。整列定理はツォルンの補題とともに、選択公理（AC とも呼ばれます。選択公理 § 同値類も参照）と同値な最も重要な数学的命題です。[ 1 ] [ 2 ]エルンスト・ツェルメロは、整列定理を証明するために「異論のない論理原理」として選択公理を導入しました。[ 3 ]整列定理から、すべての集合は超限帰納法の影響を受けやすいと結論付けることができ、これは数学者によって強力な手法と考えられています。[ 3 ]この定理の有名な帰結の一つはバナッハ・タルスキーのパラドックスである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/515

521: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 22:44:10.96 ID:iGLBvSqQ

>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

面白い！
いま、google検索したら
AIの回答が下記！！（記念にしっかり貼っておこうｗ）
君は、AIなみに賢いぞぉ！！！ｗ　；ｐ）

<google検索：実数の整列順序 整列定理>
AI による概要(AI の回答には間違いが含まれている場合があります)
実数全体の集合は、整列順序を入れることができません。整列順序とは、任意の非空な部分集合が最小元を持つような全順序のことです。実数全体を全順序で並べたとき、任意の非空な部分集合に最小元が存在するように順序を入れることは、公理的に不可能です。これは、実数の連続性や完備性に関わる性質であり、実数の順序は整列順序とは異なる性質を持つためです。
詳細:
整列順序:
全順序集合において、任意の非空な部分集合が最小元を持つ場合、その全順序を整列順序と呼びます。例えば、自然数全体の集合は、通常の大小関係で整列順序となります。これは、どの非空な部分集合にも必ず最小の自然数が存在するからです。
実数の連続性:
実数全体は、連続な集合であり、任意の2つの実数の間に別の実数が存在する性質を持ちます。この連続性のため、実数全体を整列順序で並べると、部分集合の最小元が存在しない場合が生じてしまいます。
整列定理:
選択公理を仮定すると、任意の集合は整列順序を入れることができる、という定理です。しかし、この定理は、実数全体のような特定の集合に適用されるわけではありません。実数全体には、選択公理を仮定しても、整列順序を入れることができません。
例:
実数の区間 を考えてみましょう。この区間の部分集合として、{1/2, 1/3, 1/4, ...} を考えると、この部分集合には最小元が存在しません。このように、実数の部分集合には、最小元を持たないものが存在するため、実数全体を整列順序で並べることはできません。
まとめ:
実数全体は、整列順序を入れることができない集合です。これは、実数の連続性という性質によるものであり、整列定理とは異なる概念です。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/521

523: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/08/11(月) 23:02:19.44 ID:iGLBvSqQ

>>520
>倒錯していてもこころが歪んでてもなんでもいいから早く実数の整列順序示してよ
>イッチョマエの台詞はその後に吐いてね

面白い！
oshiete.goo さん　；ｐ）

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/2250335.html
oshiete.goo
実数の整列化について
質問者：kurororo 2006/07/02
　大学で数学を学んでいる者です。最近、集合と位相の科目で、整列可能定理を学びました。それは、選択公理・Zornの補題と同値な命題であって、その内容は
「任意の集合において、適当な順序関係を定義すれば、整列集合にすることができる。（整列集合とは、空でない部分集合が常に最小元を持つ集合）」
という内容でした
　さて、実数の集合は通常の順序関係では整列集合ではありません（例えば開区間は最小数を持ちません）。定理によれば、適当な順序によって実数の集合も整列集合になる訳です
　それなら、それは具体的にはどのような順序なのかと調べて見たんですけど、どうも見つかりません。どなたか知っている人がいれば教えてください

No.2ベストアンサー
回答者：adinat 2006/07/03
連続濃度以上の集合に整列順序が存在することは、選択公理なしには証明できません（というより同値ですよね）。証明は抽象的構成を与えることですから、ある意味ではそれは不可能なわけです。といってしまうと身もふたもないですから、整列順序がどういうものかを納得するためにも雑な例をあげてみます

整列順序というのは、ようするに最も小さい数があって、さらに各元に対して“次の数”が定まっているような順序です。たとえば自然数列{1,2,3,…}が典型です。実数に整列順序を入れてやりたければ、まず最小元を決めて、また各元に対して次の数を決めてやればいいのです。（しかしながら非可算個の元に対して次の元を指定するなんてことは人間には無理です（本当は可算無限個でも無理なんですけどね））

たとえば、{1,2,…,…,π,e,√2,√3,…,…,0,-1,-2,…}などという順序を考えてみましょう（左の方が小さいとする順序）。次の数さえ決まっていたらいいんです。だから上の順序は整列順序です。5の次は6だし、1兆3の次は1兆4です。πの次はeだし、eの次は√2です。0とか、πの一つ前の数字が気になったりしますが、整列順序というのはあくまでも一つ大きい数さえ決まっていたらいいんです。π^eがどこにあるかわかりませんが、それも適当に決めてやればいいのです。ようするに実数を思いついた順番にひたすら並べていけばいいのです（無限回！しかも非可算無限回！）それが整列順序というものです

数学的帰納法ってあまり信頼がないですが、あれは自然数を一斉に順番に並べることができること（ペアノの公理）から由来する定理であって、整列可能定理というのはその非可算無限集合に拡張された超限帰納法に対応するものです。非可算無限個の元を順番に並べるという、とても有限の時間で人ができるわけがないことを考えているわけです。選択公理というのは、非空な集合の非可算無限直積から元が取れる、つまり非可算無限個の元をまったく同時に扱える、ということを主張する公理なので、そりゃあそんなこと認めてしまえば、整列順序なんて作れるよね、とそんな気がしてきませんか？（すべての実数に対してその次の数を考えてやるだけで整列順序ができるわけだから！）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753000052/523

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