可算無限個のサイコロを投げます

可算無限個のサイコロを投げます (257ﾚｽ)
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196: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 11:37:27.33 ID:5kKKflaA

>>177-178
>無限回の演算は決して完結しないのだが、完結しないものをどう定義すんだよｗ
>結局　無限＝大きな有限　との思い込みから抜け出すに足る知能がおまえには無いってことやな
>だから「完結しないものは定義のし様が無い」という問題意識に至らないんだな

ふっふ、ほっほ
まず、下記の”無限公理”をば、ご覧あれ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A,∅∈A∧∀x∈A,x∪{x}∈A
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合
A は以下の性質を満たすことを確認できる。
・∅∈A （空集合 ∅ は A の要素である）
・∅∪{∅}={∅}∈A （「空集合 ∅ を要素にもつ集合」は A の要素である）
・{∅}∪{∅∪{∅}}={∅,{∅}}∈A （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は A の要素である）
（以下同様に繰り返す）

各手続きで得られた集合を要素とする集合を
B:={∅,{∅},{∅,{∅}},⋯}
とおくと、 B は A の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、
B は有限集合であり、A≠Bである。なぜならば定義により
B∪{B}∈A であるが、
B∪{B}∉B となるからである。一方
A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで
B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。 従って
A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。

上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
独立性
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。
(引用終り)

この、”無限公理”が示すところは、無限集合の存在の主張で
その証明部分は、いわゆる背理法によっている
即ち、”無限公理”が示す無限集合は、もし それが 有限集合であるとすると 矛盾を生じる
だから、”無限公理”が示す集合は、無限集合だという（有限集合の否定が、 無限集合で その存在を公理として認める ということ）

よって、あなたの「完結しないものは定義のし様が無い」は、天才ツェルメロや ノイマンによって、克服されたんだよ
（因みに、”任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ”の部分は ノイマンによるとされている）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/196

201: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 12:15:13.40 ID:5kKKflaA

>>176
>>オイラーは 和 Σの無限回の操作は 当然と考えていた
>>彼は 和や積の無限回の操作は 当然と考えていた
>馬鹿乙。
>無限級数/無限乗積は無限回の足し算/掛け算ではない。有限和/積の列の極限だ。高校生でも知ってるぞｗ

その考えは、間違いではないが
古い。つまり、19世紀の考えで、主にワイエルシュトラスが提唱した考えだが（イプシロン-デルタ論法）

その後、カントールやデデキントや、20世紀に無限集合論が整備されて
その後、さらに ロビンソンのノンスタ（超準解析）が提唱されて
無限大や無限小の概念は、20世紀後半には 復権したのです

別には、正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞を扱う 拡大実数 も、20世紀後半には 当たり前になった（下記）
それは、オイラーが行っていたような 直感的な 無限回の和や積を ある範囲で 厳密な数学として正当化するものであった

さて、>>173のオイラーのバーゼル問題 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
を 例として取り上げる
級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・
ここで いま、自然数Nに 拡大実数の +∞を導入すると
上記は
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・+1/(+∞)^2  (ここで 1/(+∞)の部分は 下記の拡大実数の算術により 0 となる)
と書き直せる
オイラーが示したことは
1/1^2+1/2^2+・・・+1/n^2+・・・+1/(+∞)^2＝(π^2)/6 (= 1.644934…)　（π は円周率）
ってことだね
（本当はもっと広く 2→2m (偶数の指数) についての ベルヌーイ数による表示を与えたのだが（上記バーゼル問題 ja.wikipedia にある通り）

いまでは、オイラーのやった 和や積の無限回の操作は、
現代数学としても是認されています

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
微分積分学の歴史（英語版）は、流率法（英語版）あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（英: nonstandard analysis）[1][2][3]は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった[4][5]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではない
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である
算術演算
a/±∞＝0 (a∈R)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/201

207: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 13:51:20.85 ID:5kKKflaA

>>199-200
>こんなとこ来ないで病院行きなよ
>そっちこそ

ID:6vvOpaQm は、御大か
巡回ご苦労様です
プロ数学者のダメ出しが出ました！ｗｗ （＾＾

>>180
>カントールどころか高校生すら「無限にも限りがある」なんてアホな事言わんわ
>おまえだけだ「無限＝大きな有限だから限りがある」と思ってるアホは

う〜ん、ムチだねｗ
下記の”到達不可能基数”
大阪人のダジャレみたいな 数学用語なのだが・・

さて、下記のフォン・ノイマン宇宙 V は 『ZFCでは全ての集合が V に属する』というしろもので ありまして
ZFCのすべてが、フォン・ノイマン宇宙 V につまっている いわば 無限集合をあつめたもの（無限の無限集合と言いたいが 実は真クラス）

ところで、「オレ様が圏論を展開するには、フォン・ノイマン宇宙 Vは 狭い」と言った男がいる
これぞ グロタンディークだ
彼は、フォン・ノイマン宇宙 Vより 大きな宇宙を考えたのだ
それが、下記のグロタンディーク宇宙Uで、ZFCの集合は全部含んで、さらに 強到達不能基数も存在するのだ
（『強到達不能基数は、ZFCから到達できないから 到達不能なのだぁ！』と グロタンディークが言ったかどうか知らないが、大阪人のダジャレ そっくり）

要するに、ZFC フォン・ノイマン宇宙 V における 無限集合の大きさには、限りがあってｗ
グロタンディーク宇宙Uの 強到達不能基数 は、ZFCでは 到達できないという話が オチです！ｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_article/-char/ja/
2013 年 65 巻 4 号 p. 411-421
これから学ぶ人のために−−− 公理的集合論 渕野 昌
渕野昌 著 · 2013 — ... 到達不可能基数とよぶ．すべての到達不可能基数は弱到達不可能なの. で，この意味で到達不可能基数は弱到達不可能基数より “大きい” が，1 つの到達不可能基数 κ に対.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/207

208: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 13:51:57.84 ID:5kKKflaA

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙 V とは、遺伝的（英語版）整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される[1]。特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
Vと集合論
V は二つの理由によって、“全ての集合による集合” とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vα がそれぞれ集合でも、その和である V は真のクラスであるからだ。第二に、V の要素は全て整礎集合に限られている。正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合が V に属する。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙（グロタンディークうちゅう、英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 U である[1]：
略
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と
Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/208

213: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/18(金) 17:14:15.49 ID:5kKKflaA

>>207
>>要するに、ZFC フォン・ノイマン宇宙 V における 無限集合の大きさには、限りがあって
>はい、大間違いです。
>集合の最大濃度Dが存在すると仮定。
>濃度Dの集合を任意にひとつ選択する。Xが選ばれたとせよ。べき集合の公理により集合2^Xが存在するが、カントールの定理により |2^X|>|X|=D だから矛盾。
>よって集合の最大濃度は存在しない。すなわち集合の大きさには限りが無い。

いやいや、だからぁ〜ｗ
”グロタンディーク宇宙 到達不能基数”>>208
は、そうやって ZFCのノイマン宇宙内で べき集合の公理を いくら繰り返しても 到達できない境地があるのだぁよぉｗｗ
そういう仮定をする。それが、到達不能基数であり グロタンディーク宇宙のすばらしさなのよぉｗｗ　；ｐ）
これ グロタンディーク宇宙は、えらい！ ってことだよね
君は、大阪人のダジャレが理解できないんだね。おっと、大阪人っポイ 西洋人の基礎論屋さんのダジャレだったなｗ・・　；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
到達不能基数
強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、
2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う[1]。
強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。

モデルと無矛盾性
ZF+"弱到達不能基数が存在する"はZFCが無矛盾であることを導き、不完全性定理よりその存在はZFCで証明できない。 つまり、到達不能基数は巨大基数の一種である

到達不能基数による真クラスの存在性
到達不能基数に対応する公理は、全ての基数 μ に対してそれより真に大きい到達不能基数 κ が存在すると主張するものである。
したがって、この公理は到達不能基数の無限列が存在することを保証する（この公理はしばしば到達不能基数公理と呼ばれる）。
到達不能基数の存在と同様に、この公理はZFCの下では証明できない。
ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom「任意の集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。」と同値である。
ZFCの公理に universe axiom (または同値な到達不能基数公理)を付け加えたものはZFCUと表される（これは ZFC に urelements を付け加えたものと混同しないように注意）。
この公理系は、例えば全ての圏は 適切な米田埋め込みを持つということを証明するのに役立つ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/213

236: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/19(土) 11:06:30.82 ID:jT6bEcWg

>>221 つづき
＜決定番号の確率について＞
１）決定番号の確率について考えよう
　まず、5列 s1，s2，s3 ，s4，s5
　si ｜ i＝1〜5 は、コイントスで {0,1}が入る
　しっぽ同値
　数列 s'1，s'2，s'3 ，s'4，s'5 で、しっぽ同値だと s'5＝s5 だ
　だから、一つの同値類の場合の数は 2^4 で、全体Ωは 2^5
　一つの同値類 2^4 で
　決定番号1 とは、全ての列一致で つまり si=s'i ｜ i＝1〜4 (s5=s'5 は仮定されているとして)
　その確率 1/2^4
　同様に 決定番号4以下 とは S4=s'4でさえ あれば良いので 1/2
　よって、残り決定番号5の場合が、確率 1-1/2=1/2
２）列長さL（L>5）で、一つの同値類内で sL=s'L は満たされているとして
　決定番号L-1以下 とは S4=s'4であれば良いので 1/2
　よって、決定番号Lの場合が、確率 1-1/2=1/2
３）ここで、L→∞ を考えると 最後の箱は 無限の彼方に飛び去る
　（全体Ωは 2^∞ で発散する）
　つまり、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
　即ち 1/2^∞ =0 の存在 （存在するが 測度0 つまり零集合の元）
４）いま、これを一般化して 2→m枚(1〜m)のカードを シャッフルして入れるとする
　上記同様に、有限長L で、一つの同値類の場合の数は m^L-1 で、全体Ωは m^L
　L→∞ で、無限の長い列において 有限決定番号dとは dから後の無限長のしっぽが全て一致している
　即ち 1/m^∞ =0 の存在 （確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元）
５）いよいよ、箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
　区間[0,1]の一様分布でr∈[0,1]を取る
　有限長L で、この場合 しっぽ同値では 決定番号d=Lが全て
　L-1番目を含み それ以降の箱の一致確率は0
　つまり、決定番号d<L が起きる確率0（∵ si=s'i となる確率0）
　L→∞ でも、上記と同様で 有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元
６）ダメ押しで、付番に拡大実数で+∞を導入しよう
　（はさみうちの原理）
　この場合において しっぽ同値で 決定番号d=+∞ がとれる
　箱入り無数目と同じく 箱にランダムな実数を入れる
　区間[0,1]の一様分布実数を入れる。決定番号d=+∞で終わり
　決定番号dが有限の確率0（上記５）項と同じ）
　はさみうちの原理により、有限長さLを大きくした極限の場合と
　拡大実数で+∞を導入した場合において はさまれる 箱入り無数目において
　有限決定番号dは 確率0の存在。存在するが 測度0 つまり零集合の元！■

よって、箱入り無数目は、確率0で 99/100を導き 結局 その確率は 0*99/100＝0

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
測度論
可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合 (null set) という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数
通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AF%E3%81%95%E3%81%BF%E3%81%86%E3%81%A1%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
はさみうちの原理
極限に関する定理の一つ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752265419/236

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