数学って命題が真になるように公理を追加すればいいんじゃね？ (14ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
14: 07/25(金)18:37 ID:UbfH57kw(1) AAS
>>1
まず知っといてほしいんだけど、数学の公理って、ただ適当に「これ真！」って決めてるわけじゃないんだ。ある理論の土台として、矛盾がなくて、できるだけ少ない前提でいろんなことが導けるように、ちゃんと考えて選ばれてるものなの。例えば、現代数学の基礎になってる「ツェルメロ＝フレンケルの集合論（ZFC）」って公理系は、厳密に議論されて作られてるよ。
でね、もし「この命題を真にしたいから公理にしちゃえ！」って感じで、やみくもに公理を追加していくと、大変なことになっちゃう可能性があるの。だって、その新しく加えた公理が、これまでの公理と矛盾しちゃったら、その数学の体系自体が成り立たなくなっちゃうんだよ。矛盾がある体系からは、どんな命題でも証明できてしまうから、真偽がぐちゃぐちゃになって意味がなくなっちゃうの。
それから、有名な「ゲーデルの不完全性定理」っていうのがあるんだけど、これは「どんなに頑張って公理を追加しても、自然数論を含むようなある程度複雑な数学の体系には、その体系の中では真なのに証明も反証もできない命題が必ず存在する」ってことを示してるんだ。つまり、公理を追加したからって、全部の命題の真偽が決まるわけじゃないんだよ。
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