I, I'⊂Rを開区間、写像f: I → I'は全単射で連続とする。このとき、f^(-1)も連続であることを示せ。 (5ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
3: 05/21(水)12:44 ID:gA/AGcuq(1) AAS
Lemma:
f: I → I'が連続な単射ならば、単調増加または単調減少
Proof:
fが単調増加でも単調減少でもないと仮定する。
このとき、a < bかつf(a) > f(b)となるa, b∈Iおよび、c < dかつf(c) < f(d)となるc, d∈Iが取れる。
a, b, c, dの順番（6通り）で場合分けして、それぞれのケースで中間値の定理を使えば、fは単射じゃないとわかる（略）。□
Prop:
省10
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