[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part441 (1002ﾚｽ)
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422: 05/07(水)19:12 ID:JNoDvElt(1) AAS
>>412
m, n を正の整数とするとき、m√3 - n√2 は無理数になるのは背理法で証明できる。
まず仮に m√3 - n√2 が有理数だとする。
このとき共役っぽい形として m√3 + n√2 を考えると、
それらの積は
(m√3 - n√2)(m√3 + n√2) = 3m² - 2n²
で、これは整数になる。
仮定から m√3 - n√2 が有理数なので、積が有理数なら m√3 + n√2 も有理数になる。
すると
(m√3 - n√2) + (m√3 + n√2) = 2m√3
も有理数ってことになる。
でも √3 が無理数だから、2m√3 も無理数じゃないとおかしい。
矛盾が出たので、最初の仮定が間違い。
つまりm√3 - n√2 は無理数。
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