[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part441 (1002ﾚｽ)
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416: 05/07(水)18:34 ID:Xd4Jc/of(1) AAS
>>412
この証明は背理法を用いるのが一般的です。つまり、\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が有理数であると仮定し、矛盾を導くことで無理数であることを示します。
### 証明：
1. **仮定**
\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が有理数 \( r \) で表されるとする：
\[
m\sqrt{3} - n\sqrt{2} = r
\]
よって、移項すると
\[
m\sqrt{3} = n\sqrt{2} + r
\]
2. **両辺を平方する**
式の両辺を平方すると、
\[
m^2 \cdot 3 = (n\sqrt{2} + r)^2
\]
右辺を展開すると、
\[
n^2 \cdot 2 + 2n r\sqrt{2} + r^2
\]
したがって、
\[
3m^2 = 2n^2 + 2nr\sqrt{2} + r^2
\]
3. **矛盾の導出**
ここで、\( \sqrt{2} \) は無理数であるため、式の右辺に無理数の項 \( 2nr\sqrt{2} \) が含まれています。しかし、左辺 \( 3m^2 \) は有理数なので、この式は矛盾を引き起こします。
4. **結論**
この矛盾が生じるということは、最初の仮定 \( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が有理数であるという前提が誤りであることを意味します。したがって、
\[
m\sqrt{3} - n\sqrt{2}
\]
は無理数であることが示されました。
この証明は、無理数の線形結合が有理数になることがあり得ないことを利用したものです。他にも代数的数の性質を使って示す方法もありますが、これが比較的直感的な証明になります。
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