フェルマーの最終定理の証明 (534ﾚｽ)
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363: 07/17(木)11:25 ID:88t231TB(1/15) AAS
//２進文字列を１０進文字列に変換する
{! 123456789 <─-i
101110011 1*2^8+1*2^7+･････+1*2^0 i
x := 2*x+v 2*0+1 1
2*(2*0+1)+0 2
2*(2*(2*0+1)+0)+1 3
2*(2*(2*(2*0+1)+0)+1)+1 4
省19
364: 07/17(木)11:26 ID:88t231TB(2/15) AAS
ωT = 2π.
e^(jkωt) は T[s] で m、n を整数とするとき
T/2 T/2
∫e^(jmωt)*~e^(jnωt) dt = ∫e^j(m-n)ωtdt.
-T/2 -T/2
m ≠ n のときは
1 T/2
省14
365: 07/17(木)11:30 ID:88t231TB(3/15) AAS
ωT = 2π.
e^(jkωt) は T[s] で m、n を整数とするとき
T/2 T/2
∫e^(jmωt)*~e^(jnωt) dt = ∫e^j(m-n)ωtdt.
-T/2 -T/2
m ≠ n のときは
1 T/2
省14
366: 07/17(木)11:31 ID:88t231TB(4/15) AAS
1 T/2
────[e^j(m-n)ωt]
j(m-n)ω -T/2
1
= ────( e^j(m-n)(ωT/2) - e^j(m-n)(-ωT/2) )
j(m-n)ω
1
省12
367: 07/17(木)11:35 ID:88t231TB(5/15) AAS
f(x) f(x)
=(a_0/2+?_(k=1)^∞??a_k cos(kx)+? ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?)(a_0/2+?_(k=1)^∞??a_k cos(kx)+? ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?)
=?a_0?^2/4+a_0/2 ?_(k=1)^∞??a_k cos(kx) ?+a_0/2 ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?
+a_0/2 ?_(k=1)^∞??a_k cos(kx)+? (?_(k=1)^∞??a_k cos(kx) ?)^2+?_(k=1)^∞??a_k cos(kx) ? ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?
+a_0/2 ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx)+? ?_(k=1)^∞??a_k cos(kx) ? ?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?+(?_(k=1)^∞??b_k sin(kx) ?)^2
∫_(-π)^π??cos?(mx)dx=? 0, ∫_(-π)^π??sin(mx)dx=? 0, ∫_(-π)^π??sin?(mx) cos?(nx)dx=0?
368: 07/17(木)11:36 ID:88t231TB(6/15) AAS
?f?^2= (?_(k=0)^∞??β_k u_k (x) ?)^2=??_(k=0)^∞??β_k u_k (x) ?,?_(m=0)^∞??β_m u_m (x) ??
?β_0 u_0 (x),( β_0 u_0 (x)+β_1 u_1 (x) ?+β?_2 u_2 (x)+??+β?_m u_m (x)+? )?=?β_0?^2
?β_1 u_1 (x),( β_0 u_0 (x)+β_1 u_1 (x) ?+β?_2 u_2 (x)+?+β_m u_m (x)+? )?=?β_1?^2
?β_2 u_2 (x),( ?β_0 u_0 (x)+β?_1 u_1 (x) ?+β?_2 u_2 (x)+?+β_m u_m (x)+? )?=?β_2?^2
??
?f?^2=?_(k=1)^∞??β_k?^2 ???
381: 07/17(木)15:23 ID:88t231TB(7/15) AAS
G(f)=∫_(-∞)^∞??g(t) e^(-j2πft) ? dt g(t)=∫_(-∞)^∞??G(f) e^j2πft ? df
のときは
∫_(-∞)^∞?? |g(t)|^2 ? dt=∫_(-∞)^∞?? |G(f)|^2 ? dω
G(f)=∫_(-∞)^∞??g(t) e^(-j2πft) ? dt
の両辺の共役複素数をとると
(G(f) ) ?=∫_(-∞)^∞??(g(t) ) ?e^(-j2πft) ? dt
であるが、g(t)が実数ならば
省1
382: 07/17(木)15:24 ID:88t231TB(8/15) AAS
f(kt) ■(→@←) 1/|k| F(ω/k)
x=kt, t=x/k, dx=kdt, dt=dx/k
k>0のとき t→∞⇒x→∞,t→-∞⇒x→-∞
∫_(-∞)^∞??f(kt) e^(-jωt) ? dt=1/k ∫_(-∞)^∞??f(x) e^(-j ω/k x) ? dx= 1/k F(ω/k)
k<0のとき t→∞⇒x→-∞,t→-∞⇒x→∞
∫_(-∞)^∞??f(kt) e^(-jωt) ? dt=1/k ∫_∞^(-∞)??f(x) e^(-j ω/k x) ? dx=-1/k ∫_(-∞)^∞??f(x) e^(-j ω/k x) ? dx
=-1/k F(ω/k)
383: 07/17(木)15:24 ID:88t231TB(9/15) AAS
af(t)+bg(t) ■(→@←) aF(ω)+bG(ω) ??(#1)
f(kt) ■(→@←) 1/|k| F(ω/k) ??(#2)
f(t-t_0 ) ■(→@←) e^(-jωt_0 ) F(ω) ??(#3)
e^(jω_0 t) f(t) ■(→@←) F(ω-ω_0 ) ??(#4)
384: 07/17(木)15:25 ID:88t231TB(10/15) AAS
F(ω)=∫_(-∞)^∞??Ae^(-jωt) ? dω
=A∫_(-T)^0?e^(-jωt) dω-A∫_0^T?e^(-jωt) dω
=A/(-jω) [e^(-jωt) ]_(-T)^0-A/(-jω) [e^(-jωt) ]_0^T
=A/(-jω) (1-e^jωT )+A/jω (e^(-jωT)-1)
=A/(-jω) (1-e^jωT-e^(-jωT)+1)=A/(-jω) (2-(e^jωT+e^(-jωT) ))
=A/(-jω) (2 (2-(e^jωT+e^(-jωT) ))/2) =A/(-jω)?(4-2(e^jωT+e^(-jωT) ))/2
=A/(-jω) (2-2cos(ωT))=2A/(-jω) (1-cos(ωT))
省1
385: 07/17(木)15:26 ID:88t231TB(11/15) AAS
F_2 (ω)=-2Asin(ω T/2)/ω e^(-jω T/2)
∴F_1 (ω)+ F_2 (ω)=2Asin(ω T/2)/ω (e^(jω T/2)-e^(-jω T/2) )
=2Asin(ω T/2)/ω (2jsin(ωT/2))
=4A/ω ?jsin?^2 (ωT/2)
386: 07/17(木)15:27 ID:88t231TB(12/15) AAS
(1)t<0のとき
τが-∞から0の範囲で動くとき、つまりτ<0なら
f(τ)=0 ∴f(τ)g(t-τ)=0
τが0から∞の範囲で動くとき、つまりτ?0ならt-τ<0なので
g(t-τ)=0 ∴f(τ)g(t-τ)=0
f*g(t)=∫_(-∞)^∞??f(τ)g(t-τ)dτ?
=∫_(-∞)^0??f(τ)g(t-τ)dτ?+∫_0^∞??f(τ)g(t-τ)dτ?=0
省7
387: 07/17(木)15:28 ID:88t231TB(13/15) AAS
τ<0⇒f(τ)=0 ∴f(τ)g(t-τ)=0
t-τ>1⇒g(t-τ)=0 ∴f(τ)g(t-τ)=0
t-τ?1 ⇒ f(τ)=e^(-τ), g(t-τ)=t-τ
f*g(t)=∫_(t-1)^t??e^(-τ) (t-τ)dτ?=∫_(t-1)^t??(-e^(-τ) )^' (t-τ)dτ?
=-[?( @e^(-τ)@ )(t-τ)]_(t-1)^t-∫_(t-1)^t??e^(-τ) dτ?
=-(0-e^(1-t) )+[?( @e^(-τ)@ )]_(t-1)^t=e^(1-t)+e^(-t)-e^(1-t)=e^(-t)
388: 07/17(木)15:29 ID:88t231TB(14/15) AAS
f*g(t)= ∫_(-∞)^∞?f(τ)g(t-τ) dτ
F[f*g(t)]=∫_(-∞)^∞?(∫_(-∞)^∞?f(τ)g(t-τ) dτ) e^(-jωt) dt
=∫_(-∞)^∞?(∫_(-∞)^∞?f(τ)g(t-τ) e^(-jωt) dt) dτ
=∫_(-∞)^∞?f(τ)(∫_(-∞)^∞?g(t-τ) e^(-jωt) dt) dτ??※
389: 07/17(木)15:30 ID:88t231TB(15/15) AAS
F^(-1) [F*G(ω)]=1/2π ∫_(-∞)^∞?(∫_(-∞)^∞?F(s)G(ω-s)ds e^jωt ) dω
=1/2π ∫_(-∞)^∞?F(s)(∫_(-∞)^∞?G(ω-s) e^jωt dω) ds??(5.1)
Ω=ω-s, dΩ = dω
∫_(-∞)^∞?G(ω-s) e^jωt dω=∫_(-∞)^∞?G(Ω) e^j(Ω+s)t dΩ
=∫_(-∞)^∞?G(Ω) e^jΩt e^jst dΩ=e^jst ∫_(-∞)^∞??G(Ω) e^jΩt ? dΩ
これを(5.1)に代入すると
1/2π ∫_(-∞)^∞?F(s)(e^jst ∫_(-∞)^∞??G(Ω) e^jΩt ? dΩ) ds
省3
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