ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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444: １３２人目の素数さん [sage] 2025/04/30(水) 12:09:25.29 ID:Q/UFadZ+

OT氏へ
γが有理数であるとする。
仮定から或る互いに素な2つの整数p、qが存在して γ＝q/p と表されるから、γの定義式
γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n)) から
lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−q/p−log(n))＝0 である
しかし q/p は 57/＜q/p＜58/100 を満たす有理数だから、任意の n≧8 なる整数nに対して
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋…＋1/n−q/p−log(n)
＞1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝1＋(1/2＋1/3＋1/6)＋(1/4＋1/5＋1/7)−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝2＋83/140−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n)＝2＋415/700−406/700＋1/8＋…＋1/n−log(n)
＝2＋9/700＋1/8＋…＋1/n−log(n)＞0
である。また、e^2＞(19/7)^2＝361/49＞7 (e^2＞729/100＞7) だから
1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−q/p−log(7)
＞1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100−log(7)＝2＋9/700−log(7)＞9/700
である。任意の正の整数nに対して定義される第n項 a_n が a_n＝1＋…＋1/n−log(n) なる
実数列 {a_n} は n→+∞ のとき γ＝q/p に収束する単調減少列だから、
lim_{n→+∞}(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋…＋1/n−q/p−log(n))
≧lim_{n→+∞}(1＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7−58/100＋1/8＋…＋1/n−log(n))
＝lim_{n→+∞}(2＋9/700＋1/8＋…＋1/n−log(n))＞0
である。よって、矛盾が生じる。この矛盾はγが有理数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、γは無理数である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/444

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