Π01言明について理解しておこう (215ﾚｽ)
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1(2): BLACKX ◆SvoRwjQrNc 02/23(日)18:43 ID:f/qalxpg(1/5) AAS
ZFCの無矛盾性を信じるだけでは, ZFCでの証明可能性から A (引用者注: Aは算術的定理)が真だとすることは, 一般的に正当化できないのである
ゲーデルの第二不完全性定理によると, ZFCが無矛盾であれば ZFC+「ZFCは矛盾している」 という理論も無矛盾であるが、この理論は真なるΠ01言明「ZFCは無矛盾である」を自明に反証できる。また、同じことだが、偽なる言明「ZFCは矛盾している」を自明に証明できる。
よって、証明されたとしても
無矛盾な理論のなかには, 証明できても偽である算術的言明がある
3(1): BLACKX ◆SvoRwjQrNc 02/23(日)19:46 ID:f/qalxpg(2/5) AAS
もし基本的な算術を含んでいる無矛盾な理論において証明可能か不可能かだけがわかったとしても, 予想の真偽については一般に何も結論することはできない。
証明が存在すれば真であるし、反証が存在すれば真でない。という信念を持っているが、この信念に影を落とすように感じられるから。
証明できても真か偽か分からないとしたら証明に一体どんな意味があるか。
4: BLACKX ◆SvoRwjQrNc 02/23(日)19:53 ID:f/qalxpg(3/5) AAS
P=NP問題で特定のディオファントス方程式の非可解性問題において
フェルマーの定理や、ゴールドバッハの予想といった問題は、
証明できれば真であるといえるが、
停止性問題を含む問題はΠ01言明でないので「証明されても真とは限らない」が適用される。
5: BLACKX ◆SvoRwjQrNc 02/23(日)19:57 ID:f/qalxpg(4/5) AAS
任意に選んだΠ01言明を A と名前を付ける。「Aが証明可能ならAが真である」を示す。
補題: 偽なるΠ01言明は反証可能である。補題の証明：反例に当たるまで枚挙するという手続きは｢必ず停止する｣アルゴリズムである
6: BLACKX ◆SvoRwjQrNc 02/23(日)19:59 ID:f/qalxpg(5/5) AAS
Aが偽であると仮定する。上記補題より ￢A が証明できる。
Sが無矛盾であるなら、A と ￢A の両方は同時に証明できないので、A は証明できない。これは前件に反する。よって帰謬法により A は真である。
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