位数4の非可換群は存在しますか？ (7ﾚｽ)
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1: 02/09(日)21:33 ID:gQlkzQE2(1/3) AAS
G = {g1, g2, g3, g4}
2: 02/09(日)21:35 ID:gQlkzQE2(2/3) AAS
gi * gj = g_k
とすると、この対応(i, j) → kの決め方の総数は、4^3 = 64通り
これらをすべて調べればよい
3: 02/09(日)21:43 ID:gQlkzQE2(3/3) AAS
これをすべて調べるのはしんどいから
群の性質から組み合わせの数を減らしたい
まず、Gには単位元が存在する
g1が単位元だとしてよい
g1 * gi = gi * g1 = gi
だから、(1, i) → i, (i, 1) → i
(i, j)の両方とも1じゃないのは9通りなので
省2
4: 02/09(日)21:54 ID:CCqek7d7(1) AAS
続いて、各giには逆元が存在するから、
対応(i, j) → kは片方の成分を固定したとき、全単射になる
5: 02/09(日)23:11 ID:efhXej1h(1) AAS
演算表をぐちゃぐちゃこねまわして遊ぶのもいいけど、ちっとは群について勉強すれば
6: 02/10(月)00:29 ID:p1MUz8Sx(1) AAS
Gの単位元ではない元gをとる。
gで生成される部分群<g>を考える。nを<g>の位数とする。
Gの位数は4なので、nは1, 2, 4のいずれかである。
gは単位元ではないので、nは1ではない。よって、g = 2 or 4である。
g = 4のとき、<g> = Gとなり、Gはアーベル群である。
g = 2とする。
このとき、<g> = {e, g}, g^2 = eであり、f∈G\<g>を用いて、
省7
7: 02/10(月)02:26 ID:YAf790+e(1) AAS
位数4の元があれば巡回群だし
位数4の元がなければ位数1(単位元)か位数2、どちらもx^(-1)=xだからxy=(xy)^(-1)=yxで可換
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