ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/05(水) 10:50:53.01 ID:hl9U/ln8

>>182 補足

・Hilbert spaceの Hilbert dimension は、下記
"As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94]"
(which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
・”The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).”
　”As a consequence of Parseval's identity,[95] 略 ”
・なお、>>146-147 "Proof that every vector space has a basis"では、有限和は 陽には使われていない
　なので ”The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.
　Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
　Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.
　As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.”
　とやっているので、⊆ による順序は Hilbert space でも そのまま使える
　あとは、直交基底と 位相的な収束の話を 色付けすれば、よさそうだ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
Hilbert space

Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94] For instance, since l^2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).

The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).

As a consequence of Parseval's identity,[95] if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l^2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
⟨Φ(x),Φ(y)⟩l^2(B)=⟨x,y⟩H
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l^2(B) for some set B.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/191

202: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/05(水) 13:33:23.30 ID:hl9U/ln8

＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>199
(引用開始)
>n → 可算無限 にできそうな気がする （すぐには 成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
の証明 by 都築暢夫 広島大 (いま東北大)
が間違っていると？ それ 都築暢夫先生に教えてあげてね！ｗ ；ｐ）

なお、おサルさん>>7-10は
存在を示す 選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
ネガティブな面のみを強調するが、それ 自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい

(参考)
（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/202

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