圏論的解析学

21: 01/21(火)17:23 ID:IntAah0m(1) AAS
点列の収束は、有向集合Jを小さい圏とみなして、Jから別の圏への関手の性質として定式化できる

個別の点列の収束ではなく、ある空間上の任意の点列が集積点を持つかどうか（コンパクト性）、それが一意かどうか（ハウスドルフ性）も、圏論では固有射や分離射として定式化できる

関数の連続性や微分可能性のような局所的な性質が延長できるかは層やトポスの概念がある

まあ、色々な方向への一般化があるだろう

22(3): 01/21(火)17:27 ID:Na//0LcX(2/2) AAS
>>15
構造の包含じゃなくて必要あるかと言っている
解析は評価してナンボだろ。何か異なる関数空間の間で随伴でも考えて
計算を単純にできるとか具体例がないと

23: 01/21(火)17:29 ID:zi3DULT8(1/2) AAS
>>22
自分が必要ないと思うなら、関わらなきゃいいじゃん
たかだか5chのスレなんだし

24: 01/21(火)17:30 ID:L4YtUQ+F(14/18) AAS
15の噛みつきポイントは圏論とは独立した話をしてるとこ

25: 01/21(火)17:49 ID:zi3DULT8(2/2) AAS
スレッドに分かれていて、見ないという選択が容易にできるのに
なぜわざわざリンクを開いて「興味がない」と書き込みに来るのだろうか？

26: 01/21(火)18:17 ID:L4YtUQ+F(15/18) AAS
圏論的代数学

27: 01/21(火)18:17 ID:L4YtUQ+F(16/18) AAS
圏論的幾何学

28: 01/21(火)18:47 ID:L4YtUQ+F(17/18) AAS
ここまで具体的な話無し

29: 01/21(火)18:47 ID:s8etLp5J(1) AAS
圏論的数学原論を読め

30: 01/21(火)19:02 ID:L4YtUQ+F(18/18) AAS
解散

31: 01/21(火)19:19 ID:qQzFd1Br(1/2) AAS
有限個を除いてって圏論でどう表現するの？

32: 01/21(火)19:21 ID:qQzFd1Br(2/2) AAS
おそらく、点列の最初のN項を除くってのと、測度0の集合を除くってのは、共通化できるんじゃないかと思うんだけど

33: 01/22(水)00:21 ID:P0gcrtAA(1/3) AAS
圏論的物理学

34: 01/22(水)00:59 ID:SXygNNIb(1/4) AAS
圏論的量子力学入門単行本 - 2021/1/20
ボブ・クック (著), アレクス・キッシンジャー (著), 川辺治之 (翻訳)

圏論的量子力学単行本 -? 2021/9/1
Chris Heunen (著), Jamie Vicary (著), 川辺治之 (翻訳)

35: 01/22(水)01:01 ID:SXygNNIb(2/4) AAS
圏論による量子計算のモデルと論理単行本 - 2018/8/10
Chris Heunen (著), 川辺治之 (翻訳)

36: 01/22(水)01:03 ID:SXygNNIb(3/4) AAS
圏論によるトポロジー単行本 - 2023/6/10
Tai-Danae Bradley (原著), Tyler Bryson (原著), John Terilla (原著), 小森洋平 (翻訳)

37: 01/22(水)01:13 ID:SXygNNIb(4/4) AAS
圏論的、あまりに圏論的
圏論への意志

38(1): 01/22(水)06:19 ID:tyIj0j+i(1/2) AAS
圏論にそんな細かいこと出来るわけないだろ
思いつきでスレ立ててんじゃねえよガイジが

39: 01/22(水)06:51 ID:K9rQFWBx(1) AAS
>>38
細かいこととは？

40(1): 01/22(水)10:18 ID:krUJiWCv(1) AAS
点列の収束は圏論的には余極限だが、その双対もあるのかな？

41: 01/22(水)14:36 ID:Eu+xQQWX(1) AAS
点列の極限は、フィルター圏における極限

42: 01/22(水)15:39 ID:P0gcrtAA(2/3) AAS
フィルター空間

43: 01/22(水)16:01 ID:+zgW6Nk2(1) AAS
sober空間の圏から空間的完備ハイティング代数の圏への、sober空間からその開集合全体へ対応させる反変関手がある(この行き先の圏をlocaleにすれば共変になる)
また、空間的完備ハイティング代数からsober空間の圏への、空間的完備ハイティング代数をFから2(これは空間的完備ハイティング代数になる)への射全体に対応させる関手もある
これらの関手に対して、ストーン双対性が成り立ち、位相空間を点を見ずに展開できる(ポイントレス位相空間論)

圏論でもこういう対応を見つければ細かいことができる
解析に対してこういう結果があればだが

44: 01/22(水)16:06 ID:Vl2jHPr0(1) AAS
圏論は数学の最終形ではない。数学は圏論では完結しない。
数学者は永遠に数学理論を模索するのである。

45(1): 01/22(水)16:18 ID:Wi+LxD+P(1) AAS
解析の細かいこととか圏論で簡潔しない云々言ってるやつは、一体何が言いたいんだ……？
他の分野についても、「数学は群論だけで完結しない」「線形代数だけでは解析学の細かいことは扱えない」とか一々言って回ってんの？

46: 01/22(水)16:43 ID:498pB1u4(1) AAS
>>40
環の局所化

47: 01/22(水)17:20 ID:P0gcrtAA(3/3) AAS
圏論ってなんの役に立つの？

48(1): 01/22(水)17:57 ID:8gQmWvTd(1/3) AAS
万物の理論としての圏論単行本 - 2023/12/26
丸山善宏 (著)
4.1 5つ星のうち4.1 10個の評価

圏論によって世界を統一する――大胆で、無謀で、野心的な試み
現在、知のフロンティアの様相は混沌としている。数えきれない学問が乱立し、科学知と人文知は激しく分断され、全ての学問の全体像を把握する者はどこにも存在しない。現代数学の最先端であり、「知の氾濫」と「知の分断」に対処しうる圏論、その魅力と可能性を余すところなく語り尽くす。

49: 01/22(水)17:57 ID:8gQmWvTd(2/3) AAS
だそうだ

50: 01/22(水)17:59 ID:8gQmWvTd(3/3) AAS
世界を統一できる！

51: 01/22(水)18:02 ID:qCdN46/H(1) AAS
A = C[X]
S = Spec(A)～C
o = 原点∈C

S - o ⇔ C[X, 1/X]
oのZariski開近傍全体 ⇔ f(0)=0となる多項式fを含まないイデアル全体
Sのフィルターがoに収束 ⇔ Aのイデアルが(X)による局所化で真のイデアルになる

こんな感じか？

52(1): 01/22(水)18:42 ID:tyIj0j+i(2/2) AAS
なんかたまに圏論万能説を唱えてるやついるよな

53: 01/22(水)18:55 ID:p5EuK88o(1) AAS
代数解析学

54: 01/23(木)16:18 ID:vECRmyCU(1/3) AAS
>>22
これが普通の感覚だよね

55: 01/23(木)16:20 ID:vECRmyCU(2/3) AAS
>>45
圏論は不要だって言ってるだけじゃん？

56: 01/23(木)16:21 ID:vECRmyCU(3/3) AAS
>>52
集合論とか基礎論の万能感みたいなものかね
アブストラクトナンセンスの極みなのに

57: 01/23(木)16:43 ID:trznHGxR(1) AAS
あなたは病気です

58(1): 01/23(木)16:48 ID:o8RFC9Aj(1/2) AAS
圏論が不要って、さすがに無理があるよな
現代数学の必須知識だろう

59(1): 01/23(木)19:29 ID:CD38KEeO(1) AAS
一様収束で評価値に追い込みかけるのは
なんとなく閉形式とか完全形式の議論に言い換えられっそうではなかろうなのだろうか？

60(1): 01/23(木)21:54 ID:ahwohPPq(1/4) AAS
>>58
なくてもいいってことよ
特に解析学では

61: 01/23(木)21:54 ID:ahwohPPq(2/4) AAS
圏論の知識があってもいいけれど
それが役立つことはほぼ無い

62: 01/23(木)21:55 ID:ahwohPPq(3/4) AAS
>>59
なんかホモロジー代数齧ったみたいだけど
無意味じゃね？

63(1): 01/23(木)21:58 ID:ahwohPPq(4/4) AAS
>>48
>「知の氾濫」と「知の分断」に対処しうる圏論
意味不明
なんかポストモダン（笑）みたい

64(1): 01/23(木)22:41 ID:DXpgJNTy(1) AAS
>>63は理系でも入試科目に国語を課す必要があることがわかるナイスな投稿。
「「知の氾濫」と「知の分断」」は直前の「数えきれない学問が乱立し、科学知と人文知は激しく分断され、全ての学問の全体像を把握する者はどこにも存在しない。」を
簡潔な表現で言い換えているだけなので高校の現代文レベルの読解力があれば理解できる。

65(1): 01/23(木)23:08 ID:o8RFC9Aj(2/2) AAS
>>60
でも解析学でも位相空間使うじゃん
位相空間は圏論で更に発展してるからなぁ

66: 01/24(金)06:22 ID:nIotJSQ3(1/6) AAS
>>64
やっぱそっち系か
意味不明なのはその用語と圏論を結びつけることね

67(2): 01/24(金)06:32 ID:nIotJSQ3(2/6) AAS
>>65
はぁ
AがBで使われてAはCでA'に発展してると
B＼AであるDはBのほとんどすべてでCにまるで関係してないと言っているのが>>7,22だね
ついでに言うと
Cで発展しているAの部分はAのごくごく一部ね
Cはただの枠組み
省1

68(2): 01/24(金)10:49 ID:X05/C9ht(1/4) AAS
>>67
ただ位相空間が圏論的により良いものに置き換えられつつあるからな
解析学の最新の研究にcondensed mathematicsが入ってきたのもそのため

確かに従来の解析学の世界にとどまるなら不要かもしれないが、例えば大阪公立大学で行われるcondensed mathematicsのワークショップとかどうするんだ？
圏論は分からない、だからワークショップも参加しない、最新の研究も追っかけない、となると行き着く先は察せるが

69(1): 01/24(金)10:54 ID:HycuoWiC(1) AAS
>>67
で、関係してないから何なんだよ
数学のほとんどは測度論と関係してないから測度論は無意味ってこと？（笑）

70(1): 01/24(金)11:09 ID:nIotJSQ3(3/6) AAS
>>69
数学のほとんどに関係ないから
そういう意味でいらないってだけですが？
解析学のほとんどに圏論はいらない
圏論の研究は別に勝手にやってればいい
>>68
それはむしろ狭い見解
省2

71(1): 01/24(金)11:17 ID:nIotJSQ3(4/6) AAS
>>68
>最新の研究
てのが無限に色々あるわけね
圏論に関係してるのはごくごく一部
ただの流行りで終わる可能性も高い

72(1): 01/24(金)11:22 ID:X05/C9ht(2/4) AAS
>>71
condensed mathematicsはもう流行り超えたでしょ
このワークショップも多変数複素解析の人も参加するし、確かに理想論を言えば、荒野は広大であり、どこで天を目指しても良い、位相空間論も知らずに独自の解析学を展開することはできるかもしれない
だが、すでにPeter Scholzeという天才が建設中の巨人の肩に乗らない理由はあるか？
ちょっと圏論勉強すれば終わりだろ、何を意固地になって圏論を絶対勉強しないなんて理由があるんだ？

73(1): 01/24(金)11:22 ID:snu9JuzD(1) AAS
>>70
ここは圏論と解析学の接点を論じるスレなのだから、それに興味ないなら君が立ち去ればいい話

74(1): 01/24(金)11:24 ID:nIotJSQ3(5/6) AAS
>>72
>何を意固地になって圏論を絶対勉強しない
？
随分勉強したけど？使わないてだけ
>>73
針小棒大なスレということですね

75(1): 01/24(金)11:27 ID:X05/C9ht(3/4) AAS
>>74
∞-categoryについて、非数学科の人に説明するとしたら何を言いますか？

76(1): 01/24(金)11:38 ID:nIotJSQ3(6/6) AAS
>>75
>非数学科の人に説明する
何でそんなことするのか気がしれないが
流れ通り2カテゴリーから説明するんじゃないの？
射の全体をオブジェクトにしてその間に射を作ると
それが無限に続いた全体を想定してもらう

77: 01/24(金)11:50 ID:X05/C9ht(4/4) AAS
>>76
確かに勉強しているな
逆に何故圏論が解析と関係ないと思うのか不思議だ

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