スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)

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238: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/15(日) 09:59:45.64 ID:lv2xCBEK

>>204 つづき
(引用開始)
”確率変数の定義
［定義］ 標本空間Ω上の実数値関数
（各根元事象に実数を対応させたもの）を確率変数random variable という”
(引用終り)

さて、”確率変数の定義”は、上記の通りで その本性は 関数であって
”変数”に 引き摺られて 1試行でコロコロ変わるなどの妄想は、ダメですよｗ

さらに、確率の用語を確認し整備しょう
試行：サイコロを投げる、コインを投げるといった実験のことを試行と呼びます
事象：試行をして観測された結果のことは事象と呼びます
全事象（標本空間）：事象が対応する部分集合が全体集合の場合、その事象を全事象（標本空間）という
根元事象：事象が対応する部分集合が集合の一つの要素の場合、その事象を根元事象と言います

（参考）
https://wakara.co.jp/mathlog/20230419
wakara.co
やさしく学ぶ統計学〜試行と事象とは？〜 2023年4月19日
１. 試行、事象とは？
確率を考える際、サイコロを投げる、コインを投げるといった実験のことを試行と呼びます。
また、試行をして観測された結果のことは事象と呼びます。
これらの言葉はやや紛らわしいですが、例えばサイコロ投げの場合は、サイコロを投げるという実験そのものが試行であり、「1の目が出た」などの結果が事象となります。

https://www.hmathmaster.com/matha/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%A0%B4%E5%90%88%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88%E6%96%B9/
数学Ａ > 場合の数と確率 > 集合による場合の数と確率の考え方
著者：L&M個別オンライン教室　瀬端隼也  修正日：２０２１年４月１３日
事象
事象が対応する部分集合が全体集合の場合、その事象を全事象といい、事象が対応する部分集合が空集合の場合、その事象を空事象といい、事象が対応する部分集合が集合の一つの要素の場合、その事象を根元事象と言います。
そうすると、場合の数における全体の事柄が全事象と対応し、事柄が事象に対応し、一つ一つの場合が根元事象に対応するという、対応関係があります。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%9C%AC%E7%A9%BA%E9%96%93
標本空間
確率論にて、試行結果全体の集合のことである[4]
標本空間はふつう Ω で表す。全事象という意味では U（Universe の頭文字）で表すことも多い
測度論により、標本空間の部分集合で確率をもつものには可測であることが必要になる。標本空間の部分集合のうち確率をもつものを事象、事象空間をふつう
F⊂2^Ω で表す。
F は Ω の完全加法族である。
これ以上分解できない事象を根元事象または単純事象 (elementary event / simple event) という。注意したいのは、根元事象は標本空間の1点を表す集合であり、元ではない。1点を表す集合か元であるかはそれぞれ「根元事象」「標本点」で区別される（例えば、サイコロを振ったとき、根元事象は {1}, …, {6}）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/238

247: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/17(火) 17:17:06.83 ID:5DT6XHJJ

>>240-241 補足
さて、箱入り無数目のトリック部分の
決定番号dの問題点について
さらに掘り下げてみよう

１）世に、確率・統計で”裾の重い分布”と称される分布がある（下記）
　普通は、正規分布のような 裾の軽い分布が多く、平均値や標準偏差が考えられる
　即ち、正規分布では、裾は指数関数的に減衰するのです
２）ところが、”裾の重い分布”とは 減衰が遅い分布であり
　よって、平均値や標準偏差を持たない分布であったりするのです（下記のコーシー分布 ja.wikipedia ご参照）
３）さて、決定番号dは、”裾の重い分布”どころか、”裾の減衰しない分布”あるいは”裾の増大し発散する分布”
　なのです。このような、分布では まっとうな 確率・統計の計算ができないことは 専門家には自明なのです
　（ところが、一般の数学徒はご存じない）
　ここが、箱入り無数目のトリックの部分です！ｗ　（＾＾

(参考)
google検索：
確率・統計で、裾の重い分布とは どのようなものか？
AI による概要
確率・統計における「裾の重い分布」とは、確率分布の裾の部分（分布の両端）が、正規分布などの一般的な分布に比べて厚く、つまり、極端な値が出現する確率が高い分布のことです。このような分布は、極端な事象が起こる可能性を考慮する必要があるため、リスク管理や金融工学などで重要になります。
裾の重い分布の例:
・パレート分布:経済学や金融工学で、所得分布や資産分布などに用いられます。
・t分布:サンプルサイズが小さい場合の統計解析で、正規分布の代わりに用いられることがあります。
・コーシー分布:物理学や工学で、共鳴現象などをモデル化する際に用いられます。
裾の重い分布を理解することで、リスク管理やデータ分析において、より正確な判断をすることが可能になります。

https://reference.wolfram.com/language/guide/HeavyTailDistributions.html.ja
Wolfram言語 ＆ システム
ドキュメントセンター
裾の重い分布
裾の重い分布は，非常に大きい値を得る確率の方がより高いことを意味する．したがって裾の重い分布は一般に弱いランダム性とは対照的に強いランダム性を表す．収入の分布，財務収益，保険の支払金，Web上の参照リンク等，結果が裾の重い分布であると見なされる種類は増え続けている．裾の重い分布に含まれる特筆すべきものは，確率密度関数がベキであるベキ乗則である．技術的に難しいのは，これらの分布にすべてのモーメントが存在する訳ではないということである．代りに分位数等の順序統計量が使われる．また，これは中心極限定理が成り立たないことも意味する．代りに，平均等の一次結合のための新しい標準極限分布，つまり安定分布を得る．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%86%E5%B8%83
コーシー分布
性質
コーシー分布は、期待値（平均値）や分散（およびより高次のモーメント（標準偏差など））が定義されない分布の例として知られる。最頻値と中央値は常に定義され

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/247

249: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/18(水) 13:52:59.74 ID:1ZjEJMOG

>>247 & >>239 補足

１）いま、出題の列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) で
　コイントスの 0,1 の2進値をランダム入れたとする
　対するしっぽ同値列 s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )で
　決定番号d のとき、(s1，s2，s3 ，・・,sd-1) と(s'1， s'2， s'3，・・,s'd-1)
　で場合を数を考えると、sd-1≠s'd-1で無ければならないが、1からd-2は自由だから
　2^(d-2)通り
２）dには上限なく 自然数全体を渡るから 決定番号の集合濃度は 2^Nで、アレフ ℵ1 非可算無限濃度
　つまり、同値類は集合としてみた場合は、全体は非可算集合です
　一方、有限の決定番号d の場合の数は 2^(d-2)で、有限です
３）いま、『箱入り無数目』の>>2のように
　100個の決定番号d1〜d100と その最大値dmaxについて考えると
　"d1〜d100 ≦ dmax"の議論は、可算無限長の 先頭の長さ dmax の有限の議論であり
　それは、非可算無限中に比べれば 無限小に等しい（即ち確率零の集合の中の話）
　即ち、これを 出題列を有限長さの針に例えると、有限di≦dmaxの議論は、あたかもほんの針の先の中の議論なのです
４）さて、これを>>240-241の確率分布の減衰の視点で見ると
　『箱入り無数目』においては、減衰どころか 裾が増大し 全体として発散している
　即ち、上記2進値のとき、dが１増えると 場合の数は2倍になる
　10進値ならば10倍、n進値ならばn倍、全自然数NならばN倍、全実数Rならば非可算倍*)となる
　（ *)n次元R^n→n+1次元R^n+1 ということ）
５）さて、最後の例 全実数Rなら非可算倍で、ユークリッド空間で次元が違う話です（全体では無限次元空間）
　 『箱入り無数目』はトリックで、有限の99/100の話に矮小化される
　そのトリックとは、本来は可算無限長の数列について、うまく 列先頭の有限長の話にすり替える**)
　そこが、人は日常 真無限に不慣れで かつ 有限の世界に暮らしているゆえ
　まんまと d1〜d100 ≦ dmaxに乗せられ騙されるのです
　分かってしまえば、他愛もない子供だましにすぎないのです

**)ここを、確率論の観点から補強すると
１）0,1 の2進値を、箱に入れた場合、決定番号d とは、上記の通り
　二つの数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )で
　d番目以降の可算無限の数が一致する
　即ちその確率 P=(1/2)^N＝0
２）勿論、10進値でも P=(1/10)^N＝0
　n進値でも P=(1/n)^N＝0
３）そして、任意実数ならば、P=(1/R)^N＝(0)^N (即ち(1/連続濃度)^N(可算乗)です)
　『箱入り無数目』のトリックとは、可算無限長の数列の先頭の確率零の集合内の話にすり替えて
　99/100を導く。結局 (99/100)x0=0 なのです■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/249

252: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/20(金) 16:48:33.66 ID:S3g1Aii2

>>249 追加
１）いま、出題の列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) で
　箱入り無数目では、100列に並べ替える (mod 100を使えば良い)
　勿論、2列でも可です (mod 2を使えば良い)
　また、箱入り無数目の決定番号を使う 確率99/100が正しいならば
　2列なら確率1/2となる
２）だが、出題の列 s = (s1，s2，s3 ，・・・) の並べ変えなど 面倒なことをせずに
　ダミーの列 t = (t1，t2，t3 ，・・・) を、（回答者が勝手に作って）隣に作ればいいのです
　ダミーの列の決定番号 dt に対し、問題の列の決定番号 ds として
　ds ≦ dt となる確率は 1/2 だという*) ( *)箱入り無数目論法より>>2)
　よって、ダミーの列の箱を開けて 決定番号dtを得て
　さらには、ds = dt を考慮すれば、dt+2を使って
　出題の列 sのdt+2番目以降の箱を開け、出題の列 sの代表を得て
　「その代表のdt番目数＝出題の列のdt番目数」と唱えれば
　あ〜ら ふしぎ dt番目の箱の数を、箱を開けずに 確率1/2で適中できるとさ！ｗ　；ｐ）
３）さて、上記２）項の手法が、本来の箱入り無数目より、奇妙奇天烈なのは
　ダミーの列 t は、そもそも 出題の列 s とは何の関係も無い列であるにも関わらず
　出題の列 sの dt番目数の任意実数を、箱を開けずに 確率1/2で適中できるのに使えるとは
　これ如何に？ｗ ；ｐ）
４）さらに、箱入り無数目の>>2通りに、99列を 出題の列 sのとなりに並べて
　列 t1,t2,t3,・・,t99 とやれば
　dt1〜dt99 までの99個の決定番号が手に入る。その最大値 dtmax＝max(dt1,・・,dt99) を取って
　ds ≦ dtmax となる確率は 99/100 となる (箱入り無数目論法より)
　上記２）項の手法で、出題の列 sのdtmax+2番目以降の箱を開け、出題の列 sの代表を得て
　「その代表のdtmax番目数＝出題の列のdtmax番目数」と唱えれば
　あ〜ら ふしぎ dtmax番目の箱の数を、箱を開けずに 確率99/100で適中できるとさ！ｗ　；ｐ）
（箱入り無数目論法>>2の通り、99列をもっと大きな任意の数の列にすれば、”確率1-ε で勝てることも明らかであろう”ｗ）
　これまた、本来の箱入り無数目よりも 奇妙奇天烈な 数学パズルなり〜！

要するに、>>249で述べた如く
決定番号dなる量は、本質的に発散している量であって
非正則分布を成すゆえ （>>154の4)項ご参照）
複数 n個の決定番号を選んで
n個の中のある決定番号dが、最大値となる確率1/nとして
”確率1-ε で勝てることも明らかであろう” (ここにε＝1/n)
と主張するのだが
ここが、数学トリックで 数学パズルなのです！ｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/252

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