ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

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184: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/01/12(日) 18:43:55.15 ID:gsEji7DN

>>183
レスありがとうございます

>>179
>>”T値列は任意でよい”は、言えない
>じゃあ　Tの元すべてを含む任意のT値列でよい　に訂正。

だから、その主張のためには 可算選択公理（それを使う可算整列（可能）定理）が必要です
つまり、可算整列ができれば、自然数Nとの 全単射（一対応）の存在が言えます

繰り返すが、下記 ”可算集合の 定義：
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。
すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。”

については、反対はしない
しかし、”可算集合 定義”からは、全単射が一つ存在しさえすれば良い だけです

なので >>133 背理法で 『区間[0.1]の実数の集合Tは、可算である』としただけでは
自然数Nと 集合T との全単射は、抽象的存在であって、一つ存在しさえすれば良い だけだから

そうすると、ある人が 対角線論法のために ある整列（もどき）を構成したときに
それが、果たして 自然数Nと 集合T との全単射が できるかどうか の証明が求められるのです

その証明をする代わりに、可算選択公理を仮定すれば良いのです
そうすると、繰り返すが 可算整列（可能）定理が使えることになり
『集合Tは、可算である』と宣言した瞬間に、
人はかなり自由に Nと集合Tとの全単射 ができます
即ち、集合Tを整列しさえすれば良い

逆に、可算選択公理を仮定しない場合には、
対角線論法のために作った縦の整列が
果たして ”可算集合 定義”の 全単射となっているか？ の証明が
別途必要になるってことです！ｗ ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/184

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