ツイッタ「ε-δ論法が難しいわけないだろ」 (223ﾚｽ)
上下前次1-新
10: 2024/12/31(火)12:39 ID:msjHwVB5(5/14) AAS
例えば
11: 2024/12/31(火)12:48 ID:xeRxaJy4(2/37) AAS
最初によく出る例は
liman=a
で
lim(Σan)/n=a
を示すやつ
12(1): 2024/12/31(火)12:55 ID:msjHwVB5(6/14) AAS
普通だろ
13: 2024/12/31(火)13:04 ID:xeRxaJy4(3/37) AAS
>>12
知ればね
この手のが色々ある
特に積分の評価の問題
14: 2024/12/31(火)13:05 ID:msjHwVB5(7/14) AAS
解析はそういうこと色々やる
15: 2024/12/31(火)13:05 ID:xeRxaJy4(4/37) AAS
そう
だから会席の人の職人技には脱帽
16: 2024/12/31(火)13:08 ID:msjHwVB5(8/14) AAS
εにする苦労化と思ったがｗ
17(1): 2024/12/31(火)13:12 ID:rPlgt8zW(1) AAS
(Σan)/n - a < 1/n (M + (n - N)ε) = ε + (M - Nε)/n
18: 2024/12/31(火)14:47 ID:ZIBhArJJ(1/3) AAS
実数全体の集合Rにおけ任意のコーシー列が収束する
これがわからん輩に数学は無理
19: 2024/12/31(火)14:55 ID:5Bo3IDus(2/4) AAS
εじゃなくδやろ
εは任意でいいんだから
δをεの関数で定義してやれば任意のεに対してδが存在することが言える
20: 2024/12/31(火)14:56 ID:msjHwVB5(9/14) AAS
実数を構成する1つの方法
21(1): 2024/12/31(火)14:59 ID:msjHwVB5(10/14) AAS
>>17
0点
22: 2024/12/31(火)15:37 ID:DAnfsA4P(1) AAS
>>21
何が0点なの
23(1): 2024/12/31(火)15:52 ID:F9s5TbKy(1) AAS
イプシロンデルタ論法が難しくないなら何でこういう↓イプシロンデルタ論法だけを解説した教科書があるの？🥺
藤岡 敦『手を動かしてまなぶ ε-δ論法』
原 惟行 『イプシロン・デルタ論法 完全攻略』
宮島静雄『ε‐δ（イプシロン‐デルタ）論法と数学の基礎』
24: 2024/12/31(火)15:58 ID:D2GQKa16(1) AAS
ε > 0を任意にとる。
ai → a (i → N)なので、十分大きな自然数Nがとれて、i > Nに対して|ai - a| < ε/2とできる。
An = Σ_{i=1}^n ai とおく。M := max{|ai - a| : i=1, 2, ..., N}とおくと、n > Nのとき、
|An/n - a|
≤ 1/n Σ_{i=1}^n |ai - a|
< M/n + (n - N)/n ε
= ε/2 + (2M - Nε)/2n。
省2
25: poem 2024/12/31(火)16:06 ID:XZY6VLfx(1) AAS
にほんごでおけーだよぉ…
26(1): poem 2024/12/31(火)16:21 ID:7JN95xlB(1/20) AAS
もしかしたら
これを教えて貰えればわかるかもと思って
0.9999…=1
0÷0=不定
などを
イプシロンデルタ論法で処理できたりする？
27: poem 2024/12/31(火)16:23 ID:7JN95xlB(2/20) AAS
逆に
イプシロンデルタ論法でこれらを処理できないなら
他の処理できる物とイプシロンデルタ論法の違いがわかれば
理解できるかもとか
全く見当外れかな
なんか0除算とか処理できないのかなと
28: poem 2024/12/31(火)16:24 ID:7JN95xlB(3/20) AAS
0^0=0or1とか
イプシロンデルタ論法はそういう話じゃない、のかな？
29: poem 2024/12/31(火)16:25 ID:7JN95xlB(4/20) AAS
適当にヒント得られそうな物これ無理かなと的当てしてるだけ
特に意味はない
30(25): 2024/12/31(火)16:27 ID:g6P3Bm62(1/38) AAS
たとえば、以下の証明は間違っている。
命題
lim_{n→∞} an = a, lim_{n→∞} bn = bならばlim_{n→∞}(an + bn) = a + b
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
省4
31: 2024/12/31(火)16:28 ID:g6P3Bm62(2/38) AAS
こういうのが、イプシロン-デルタ論法が理解できてない一例。
文字は読めても意味が理解できてない。
32(1): 2024/12/31(火)16:29 ID:g6P3Bm62(3/38) AAS
あとは、連続と一様連続、各点収束と一様収束が区別できてないなんてのもそう。
33: 2024/12/31(火)16:37 ID:xeRxaJy4(5/37) AAS
>>23
最初書いたように
概念はすぐ理解できても
職人芸が多いからだよ
34(2): 2024/12/31(火)16:40 ID:xeRxaJy4(6/37) AAS
>>30
これ問題ないんじゃないの？ε/2でやらないとダメとか？
35(1): poem 2024/12/31(火)16:43 ID:7JN95xlB(5/20) AAS
わかったかも
外部ﾘﾝｸ:manabitimes.jp
ってサイト見たんだけど
ただの
数学的帰納法や背理法や対偶法の類型の
数学的演繹法の1つなだけか
36: poem 2024/12/31(火)16:44 ID:7JN95xlB(6/20) AAS
ようは
数学的演繹法の1つで
数学証明法の1つのテンプレートなだけだね
37: poem 2024/12/31(火)16:46 ID:7JN95xlB(7/20) AAS
背理法や対偶法は、数学的背理法や数学的対偶法ではないから
数学証明テンプレートは別に作ったのがあるかどうかだけど
数学的帰納法も同じで数学証明テンプレートの1つ
他には
幾何学図形の証明法には中学で特に習うじゃん？テンプレート多い
つまり数学幾何学的〜法というのを作れる。〜論法と幾何学図形にも
38: poem 2024/12/31(火)16:48 ID:7JN95xlB(8/20) AAS
イプシロンデルタ論法っていうのは
ただの数学的証明テンプレート群を構成する1つと考えればいいわけだね
39: poem 2024/12/31(火)16:51 ID:7JN95xlB(9/20) AAS
ようするに
数学博士や数学受験生は
証明テンプレート群を丸暗記や文意深く理解を
幾何学図形とかそれぞれ単元
英単語単語帳みたいに単語帳に纏めていつでも確認できるようにカバンに入れとくべき案件だね
40(1): poem 2024/12/31(火)16:53 ID:7JN95xlB(10/20) AAS
物理には物理証明法ないからね
物理は単語帳できない
将来物理も物理証明法の単語帳できるはず。いつかはわからないけど
数学は単語帳にできるんだね
数学徒の写経の1つカバンに入れていつでも研究するアイデアの引き出しにしないと
41(1): 2024/12/31(火)16:55 ID:g6P3Bm62(4/38) AAS
>>34
違う。
42: 2024/12/31(火)16:55 ID:g6P3Bm62(5/38) AAS
>>34
違う。
43(1): 2024/12/31(火)17:04 ID:xeRxaJy4(7/37) AAS
>>41
なんで？
εに対してNがあってn>Nで必ず|(an+bn)-(a+b)|<εにできることを言えばいいわけで
言ってるじゃん
44: 2024/12/31(火)17:11 ID:g6P3Bm62(6/38) AAS
>>30は、特定の箇所が間違っているのではなく、根本的に理解できていない、数学的に無内容な文章。
「ここがおかしい」と逐一指摘して直すのは無意味。
45(1): 2024/12/31(火)17:11 ID:g6P3Bm62(7/38) AAS
>>43
言えてないよね。
46(6): 2024/12/31(火)17:15 ID:g6P3Bm62(8/38) AAS
>>30の証明が正しいという人は、
fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ
とか言ってるようなもの。
47: 2024/12/31(火)17:16 ID:xeRxaJy4(8/37) AAS
>>32
>連続と一様連続、各点収束と一様収束が区別できてない
これは量菓子の順序の大切さを認識してないてことで
初学社にありがち
48(1): 2024/12/31(火)17:16 ID:msjHwVB5(11/14) AAS
無理して、ε/2+ε/2=εの形にする必要はない
49(1): 2024/12/31(火)17:16 ID:xeRxaJy4(9/37) AAS
>>46
全然違うが？
50(1): 2024/12/31(火)17:18 ID:g6P3Bm62(9/38) AAS
>>48
そこは関係ない
>>30の「証明」はまったく証明になっていない
数学的な論理も間違っているし、
示すべき結論を示せていないし、
そもそも論理的に無意味な文章を書いている。
51: 2024/12/31(火)17:20 ID:msjHwVB5(12/14) AAS
>>50
そんなことはいってないが
52(2): 2024/12/31(火)17:20 ID:g6P3Bm62(10/38) AAS
>>49
>>30が正しく見えるのは、書かれてないことを脳みそで勝手に補っているか、数学が理解できていないということ
前者ならただの早とちりだが、後者なら反省して勉強し直さないとヤバい
53(5): 2024/12/31(火)17:21 ID:xeRxaJy4(10/37) AAS
>>45
言えてるけど？
まずεを取ります
liman=aより
Nが存在して全てのn>Nで|an-a|<εとなります
limbn=bより
N'が存在して全てのn>N'で|bn-b|<εとなります
省4
54: 2024/12/31(火)17:22 ID:xeRxaJy4(11/37) AAS
>>52
じゃあ君証明書いてみてよ
君の細かな指摘がどういうものかよくわかんないし
55(1): 2024/12/31(火)17:23 ID:xeRxaJy4(12/37) AAS
>>52
>書かれてないことを脳みそで勝手に補っている
普通それも含めて正しければいいんだけど？
56(1): 2024/12/31(火)17:25 ID:g6P3Bm62(11/38) AAS
>>53は正しい証明
見様見真似で書いたのでなければ>>30との違いはすぐわかるはず
57: 2024/12/31(火)17:28 ID:xeRxaJy4(13/37) AAS
>>56
君めんどくさいね
>>53と>>30は同じことを言っていると見なせないのね
その割に
>>46と>>30を同じに見なすのか
58: 2024/12/31(火)17:28 ID:g6P3Bm62(12/38) AAS
>>55
そりゃ君にとってそうだったというだけ
そもそも>>30は数学的に意味がない文章なので、テストの答案なら当然零点
59(6): 2024/12/31(火)17:33 ID:g6P3Bm62(13/38) AAS
わからないようなので、>>30と論理的に全く同じ「証明」を書こう
何がおかしいかは明白なはず
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のα > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < α。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のβ > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < β。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
省2
60: poem 2024/12/31(火)17:36 ID:7JN95xlB(11/20) AAS
>>35から>>40
を
物理板の人とも共有した
─h─t─t─p─s─:─/─/─r─i─o─2─0─1─6─.─5─c─h─.─n─e─t─/─t─e─s─t─/─r─e─a─d─.─c─g─i─/─s─c─i─/─1─7─3─5─1─2─7─0─5─7─/─3─1─5─/─
61(13): 2024/12/31(火)17:37 ID:xeRxaJy4(14/37) AAS
>>30
liman=a
であるよと
だから
∀ε∃N∀n>N |an-a|<ε
よと
limbn=b
省12
62(4): 2024/12/31(火)17:42 ID:5Bo3IDus(3/4) AAS
>>26
>0.9999…=1
0.9999…<1 と仮定。
アルキメデスの性質より、1>0.999…9>0.999… を満たす 0.999…9 が存在する。
0.000…999…<0 なる矛盾が導かれるから仮定は偽。よって0.999…=1。
63(1): 2024/12/31(火)17:42 ID:xeRxaJy4(15/37) AAS
>>59
それは全く証明になってないけど？
εを使っているから>>30は証明になっているわけ
(∀α∃N∀n>N |an-a|<α)∧(∀β∃N'∀n>N' |an-a|<β)
は
∀ε∃N,N'∀n>N,N' |an-a|<ε∧ |bn-b|<ε
を導かないしね
省8
64: 2024/12/31(火)17:43 ID:xeRxaJy4(16/37) AAS
>>63
>∀ε∃N,N'∀n>N,N' |an-a|<ε∧ |bn-b|<ε
>を導かないしね
すぐには導かないしね
か
65: 2024/12/31(火)17:43 ID:ZIBhArJJ(2/3) AAS
>>59が>>30と論理的に全く同じと思ってるなら、
その人は論理が分かってないというか嘘分かりしている
66(1): 2024/12/31(火)17:45 ID:g6P3Bm62(14/38) AAS
>>30の証明は、ε, N, N'が定義されていない。
εは任意に取った正の数、
Nは条件an→aから取れる自然数、
N''は条件bn→bから取れる自然数
であること明示しなければいけない。
そして、結論を示すにはεに依存してN''が取れることを示さなければいけない。
これを「文脈からわかるからオーケー」という人は、>>59がおかしくないと言ってるのと同じ。
省1
67: 2024/12/31(火)17:47 ID:xeRxaJy4(17/37) AAS
>>46
>fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
>gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
>f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ
>
>とか言ってるようなもの。
∀εと∃xとを混同しているでしょ
省5
68(2): 2024/12/31(火)17:48 ID:g6P3Bm62(15/38) AAS
「εを使っているから大丈夫」という人は、xを関数の引数に使ったり、nやiを数列の添字に使ったら以降の文章に現れるx, n, iはすべて同じ数量だと言わなければいけない
69: 2024/12/31(火)17:49 ID:xeRxaJy4(18/37) AAS
>>66
>>30が∀εで話を進めている
問題ない証明だと考えないのは
全然間違ってるというか細かすぎ
70(1): 2024/12/31(火)17:50 ID:g6P3Bm62(16/38) AAS
ID:xeRxaJy4
もうここまで言ったのだから、自分の間違いには気付いただろう
誰にだって勘違いはあるのだから、誰も君を責めたりはしない
冷静になろう
71: poem 2024/12/31(火)17:50 ID:7JN95xlB(12/20) AAS
>>62
これは不等号の計算法？(符号で不等号の向きが変わるあれ？)
72(1): 2024/12/31(火)17:51 ID:xeRxaJy4(19/37) AAS
>>68
いいえ？
君∀で許されることが∃では許されないという当たり前のことを
混同して∀でも許されないと考え込んでしまってるだけだな
73: 2024/12/31(火)17:51 ID:xeRxaJy4(20/37) AAS
>>70
それは君に贈る言葉だな
74(1): 2024/12/31(火)17:52 ID:g6P3Bm62(17/38) AAS
>>72
そういうことではない。
ここまで説明してマジでわからんの？
75: poem 2024/12/31(火)17:53 ID:7JN95xlB(13/20) AAS
>>62
0.999…9を有限で止めたらそんな風な証明になるのかな？
0.999…を計算し続けて止めなかったら？(有限個でなく無限個を作り続ける場合)
76(1): 2024/12/31(火)17:54 ID:SigMl1e5(1) AAS
|an-a|<ε, |bn-b|<ε の ε は各々別のローカルスコープの変数
|an+bn-(a+b)|<ε の ε はグローバルというか一つ上のネストの変数
みたいなことかな
77: poem 2024/12/31(火)17:54 ID:7JN95xlB(14/20) AAS
>>62
でも無限個計算し続けてても
不等号のルールだと符号反対になって無理なの？
78: 2024/12/31(火)17:56 ID:xeRxaJy4(21/37) AAS
>>74
だから>>61に書いた通りよ
>>30は>>61という論理展開だとわからないか
わかってやろうとしないのは細かすぎるね
79(1): poem 2024/12/31(火)17:58 ID:7JN95xlB(15/20) AAS
>>62
あ！改行してたから式読めなかったけど
符号反対になってないね
有限個で止める方法なだけか
80(3): 2024/12/31(火)17:58 ID:xeRxaJy4(22/37) AAS
>>76
ところがね∀εが最外部にあるので>>61の通りグローバルなんですよ
81: 2024/12/31(火)17:58 ID:g6P3Bm62(18/38) AAS
数列の収束性は、任意のε > 0に対して、ある条件をみたすδ > 0を対応させる関数δ = δ(ε)の存在のことだ。
>>30の「証明」をふりかえる。
> lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
>lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
上記の2つで、Nが依存しているεと、N'が依存しているεは同じものとは限らない。
省3
82: poem 2024/12/31(火)17:59 ID:7JN95xlB(16/20) AAS
有限個で止めたらやっぱり矛盾しちゃうんだ？
0.999…=1って
83(1): 2024/12/31(火)17:59 ID:g6P3Bm62(19/38) AAS
これを「∀εだから正しい」と言ってしまうのは、一度数列の添字にiを使ったら以降の文章で出てくるiはすべて同じと言っているのと同じだ。
84(1): 2024/12/31(火)18:00 ID:g6P3Bm62(20/38) AAS
>>80
それは君が勝手に脳内で付け足したにすぎない
85: poem 2024/12/31(火)18:01 ID:7JN95xlB(17/20) AAS
間違えてた
0.999…≠1
が矛盾するのか
有限個で止めずに無限個なら
0.999…≠1ってどうなるの？矛盾するの？
イプシロンデルタ論法関係ないならこれスレチ
86(1): 2024/12/31(火)18:02 ID:g6P3Bm62(21/38) AAS
>>80
また、最上部に「∀ε」をつけ足したとしても、
> lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
>lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
はεを再度量化しているので、ここのεは外部のεとは別のものになる。
87: poem 2024/12/31(火)18:03 ID:7JN95xlB(18/20) AAS
有限個なら
0.999…0→0.999…9
を作れるけど
無限個の
0.999…にはそれより大きな数作れるの？
ここがミソかな？
88(2): 2024/12/31(火)18:04 ID:msjHwVB5(13/14) AAS
二番のεを最初のものに取れといってるだけだろ
89: poem 2024/12/31(火)18:06 ID:7JN95xlB(19/20) AAS
イプシロンデルタ論法的には
1/2＋1/4＋1/8と同じだから
0.999…=1だけど
違う論法に
0.999…≠1は無いのかなならスレチじゃないかもだけど
イプシロンデルタ論法使ってなかったらスレチ。イプシロンデルタ論法わからないから
イプシロンデルタ論法だと0.999…=1を証明する方式になるんじゃないかな
省1
90: 2024/12/31(火)18:07 ID:g6P3Bm62(22/38) AAS
>>88
それならば「任意のε」は不要
単に「an→aなのでNが存在する」と言えばよい
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 133 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.636s*