杉浦光夫著『解析入門I』、『解析入門II』を精読する。 (72ﾚｽ)
上下前次1-新
1(1): 2024/12/26(木)11:01 ID:ayQgO3vN(1/2) AAS
いいアイデアですか？
2: 2024/12/26(木)11:04 ID:zdtEYbO9(1) AAS
良スレの予感
3: 2024/12/26(木)11:15 ID:YFrEaDbd(1) AAS
働けウンコ製造機
4: 2024/12/26(木)12:54 ID:QXERLgWl(1/4) AAS
杉浦光夫「解析入門2」って通読用？
2chｽﾚ:math
5: 2024/12/26(木)12:55 ID:QXERLgWl(2/4) AAS
杉浦の解析入門を写経したらフィールズ賞ですか？
2chｽﾚ:math
6: 2024/12/26(木)12:55 ID:QXERLgWl(3/4) AAS
杉浦解析入門やったらハイレベル理系数学解ける？
2chｽﾚ:math
7: 2024/12/26(木)12:56 ID:QXERLgWl(4/4) AAS
杉浦光夫「解析入門」と溝畑茂「数学解析」どちらがいいですか？
2chｽﾚ:math
8: 2024/12/26(木)13:12 ID:QNyzK6lr(1) AAS
別名、解析門前払い
9(1): 2024/12/26(木)19:44 ID:ayQgO3vN(2/2) AAS
Iのp.250
d(Δ) ≦ (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}
などという不等式が登場しますが、明らかに
d(Δ) = (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}
です。
10(1): 2024/12/27(金)00:56 ID:gC9pez7z(1) AAS
>>9
お前の主張が正しくても、間違った記述じゃないだろwwww
そんなこともわかんないくらい低脳なのかよ
11(1): 2024/12/27(金)08:33 ID:d5Y6eeTV(1/3) AAS
>>10
この記述の何が悪いかというと、
d(Δ) < (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}
であることも起こり得るから、等号付き不等式で書いているのかと読者を一瞬惑わせるからです。
12: 2024/12/27(金)09:58 ID:d5Y6eeTV(2/3) AAS
Iのp.250
「このとき d(Δ') < δ/2 となる J の任意の分割 Δ' に対して、 d(Δ'') < δ/2 となる K の分割 Δ'' を一つ取り、」
などと書かれていますが、奇妙です。
「このとき d(Δ') < δ/2 となる J の任意の分割 Δ' および、 d(Δ'') < δ/2 となる K の分割 Δ'' を一組取り、」
となぜ書かなかったのでしょうか？
13: 2024/12/27(金)10:35 ID:S4Ujbhmt(1) AAS
>>11
惑わせるwww
等式変形ばっかりやってる脳足りん高校生かよ
www
本をなぞるだけで問題解いたりしてないんじゃないの？
評価するときは全部不等式で処理する方が楽でミスも減るとかメリットだってあるんだよ
自分の思い込みだけで決めつけんな、クズ
14(1): 2024/12/27(金)10:50 ID:d5Y6eeTV(3/3) AAS
Iのp.252
「任意の k ∈ [1, n] ∩ N に対し」などと書かれていますが、「任意の k ∈ [1, n) ∩ N に対し」が正しいです。
15(1): 2024/12/28(土)12:05 ID:VCr4v2Kh(1/4) AAS
Iのp.258
定理8.5の証明中の(8.7)の被積分関数が f^* × χ_{A ∩ B} となっていますが、 × χ_{A ∩ B} は余計で、 f^* だけで十分です。
16: 2024/12/28(土)12:39 ID:e6+/zOrl(1/4) AAS
>>1
精読してるか？
17: 2024/12/28(土)14:02 ID:e6+/zOrl(2/4) AAS
>>15
∫[I]=0でいいのか？
18: 2024/12/28(土)14:04 ID:VCr4v2Kh(2/4) AAS
f^* × χ_{A ∩ B} = f^* です。
19: 2024/12/28(土)14:07 ID:e6+/zOrl(3/4) AAS
それを別に書かいてるだけだろ、あほか
20: 2024/12/28(土)14:10 ID:e6+/zOrl(4/4) AAS
>>14
証明は？
21: 2024/12/28(土)18:09 ID:VCr4v2Kh(3/4) AAS
Iですが、重大な欠陥を発見しました。
R^n の有界集合 A が空集合であるときに、 v(A) がどうなるかについての記述が全くありません。
22: 2024/12/28(土)18:17 ID:VCr4v2Kh(4/4) AAS
例えば、 χ_{A ∪ B} = χ_A + χ_B - χ_{A ∩ B} などという式を考えるときに、 A ∩ B が空集合になるという状況は普通です。
ですので、 χ_{空集合} は定義されていなければなりません。
ですが、空集合の場合についてどうするかについての記述は一切ありません。
23: 2024/12/29(日)18:09 ID:XUq43hav(1/4) AAS
Iのp.263
「
0 ≦ χ_A ≦ χ_{I_1} + … + χ_{I_m} であり命題3.1,5)によって
0 ≦ S(χ_A) ≦ v(I_1) + … + v(I_m) < ε
が成立ち、
」
と書かれています。
省4
24(1): 2024/12/29(日)18:16 ID:XUq43hav(2/4) AAS
χ_A ≦ χ_{I_1 ∪ … ∪ I_m}
が成り立ちます。
ですので、
S(χ_A) ≦ S(χ_{I_1 ∪ … ∪ I_m})
が成り立ちます。
省5
25: 2024/12/29(日)18:18 ID:XUq43hav(3/4) AAS
杉浦さんは
>>24
この不等式より甘い不等式を使って途中経過を書かずに同じ結論を書いています。
26(1): 2024/12/29(日)19:11 ID:XUq43hav(4/4) AAS
∫_{I_1 ∪ … ∪ I_m} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = v(I_1) + … + v(I_m)
は2次元の場合を考えれば直感的に成り立ちそうですが、どうｙって証明しますか？
27: 01/01(水)00:05 ID:cKAYUWxd(1) AAS
謹賀新年
28: 【中吉】 【296円】 01/01(水)07:59 ID:jdQXojJ3(1) AAS
大吉なら『解析入門』を通読できる
29: 01/01(水)08:01 ID:pBxvV8Xh(1) AAS
千里の道も一歩から
30: 01/01(水)10:35 ID:IQA/njn/(1/3) AAS
>>26
あ、簡単な話でしたね。
I_1 ∪ … ∪ I_m ⊂ I となる I をとる。
∫_{I_1 ∪ … ∪ I_m} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = ∫_{I} χ_{I_1} + … + χ_{I_m} = ∫_{I} χ_{I_1} + … + ∫_{I} χ_{I_m} = v(I_1) + … + v(I_m)
31: 01/01(水)14:30 ID:IQA/njn/(2/3) AAS
Iは今月中に読み終えることができそうです。
32: 01/01(水)16:52 ID:IQA/njn/(3/3) AAS
Iのp.266のルベーグによる補題9.4ですが、証明は簡単ですが、アイディアが分かりづらいですね。
33: 01/02(木)12:09 ID:6LsSfUYS(1/2) AAS
Iの第4章§9零集合と可積分条件
もっとすっきりと書けないものでしょうか？
34: 01/02(木)15:08 ID:6LsSfUYS(2/2) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
p.270
「各 I_k を n 等分すると、上式から、その n 個の小区間に含まれる t に対応する曲線 C の弧は一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる。」
と書かれています。
「一辺の長さが d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」でもよいと思うのですが、なぜ杉浦さんは「一辺の長さが 2 * d(Δ) * L / n の正方形に含まれる」と書いたのでしょうか？
35: 01/04(土)12:41 ID:1fHNBQ4K(1/2) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
I ⊂ R^n とする。
f, g を I 上の実数値関数とする。
f を I 上可積分とする。
{x ∈ I : f(x) ≠ g(x)} が零集合であるとする。
このとき、 g は I 上可積分であり、
∫_{I} f = ∫_{I} g
省3
36: 01/04(土)18:08 ID:1fHNBQ4K(2/2) AAS
あ、 g は I 上可積分とは限りませんね。
37: 01/04(土)18:30 ID:/f+nFYby(1) AAS
…BQ4K
おまえエーカゲンにセーよ
38: 01/08(水)10:43 ID:RkoWqylf(1/2) AAS
Iのp.273の定理9.8系2
D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。
39: 01/08(水)14:39 ID:RkoWqylf(2/2) AAS
Iのp.270の定理9.8
この定理の(2)の証明ですが、一般的に通じるような証明ができるにもかかわらず、この定理での仮定の特殊性を利用して証明しています。
非常によくないことだと思います。
40: 01/08(水)15:08 ID:qwVyKE52(1/3) AAS
451 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 12:10:11.45 ID:RkoWqylf
杉浦光夫著『解析入門I』のp.273の定理9.8系2
D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。
このように仮定を強くしすぎるのは良くないことですよね？
実際、杉浦さんも、次のページの例9でコンパクトであるとは限らない面積確定集合である Dに対して、上の系2を適用しています。
41: 01/08(水)16:17 ID:WFc8JhVc(1) AAS
杉浦先生もここまで信仰されるとはあちらで苦笑されていりことでしょう
ご冥福を祈ります
42: 01/08(水)16:54 ID:qwVyKE52(2/3) AAS
２００８年度日本数学会出版賞受賞者のことば
このたび杉浦光夫さんが山内恭彦氏（故人）との共著『連続群論入門』によって，２００８年
度の日本数学会出版賞を受賞なさったことはまことにめでたく，喜ばしいかぎりです．不幸にし
て杉浦さんは受賞式直前の３月１１日にお亡くなりになり，《受賞者のことば》をお書きになるこ
とができませんでした．そこで御生前に親しくしていただいた私が，かわりに受賞お祝いのこと
ばを書くことになりました．
１９５４年ごろから，駒場（東大教養学部数学研究室）で，岩堀長慶さんを中心とするリー群
省16
43: 01/08(水)21:21 ID:qwVyKE52(3/3) AAS
抽出ID:RkoWqylf (4回)
451 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/08(水) 12:10:11.45 ID:RkoWqylf
杉浦光夫著『解析入門I』のp.273の定理9.8系2
D をコンパクトな体積確定集合であると仮定していますが、有界な体積確定集合であれば成り立ちます。
このように仮定を強くしすぎるのは良くないことですよね？
実際、杉浦さんも、次のページの例9でコンパクトであるとは限らない面積確定集合である Dに対して、上の系2を適用しています。
省17
44: 01/09(木)10:05 ID:6bCgcAx3(1/3) AAS
Iの定理9.10（p.276）の証明ですが、よくできた証明ですね。
どこからコピー&ペーストしてきたんですかね？
45: 01/09(木)10:21 ID:FOGS7lVd(1) AAS
木を見て森を見ずの典型やな
人生損してるで
46: 01/09(木)10:58 ID:+84tOBn+(1/3) AAS
10年微積分やってこのレベル、損してるのか、馬鹿の拘り
47: 01/09(木)11:11 ID:+84tOBn+(2/3) AAS
ニートで
数学微積分レベル
プログラム才能無し
物理才能無し
48: 01/09(木)11:33 ID:6bCgcAx3(2/3) AAS
Iの難所は、おそらく第4章§9「零集合と可積分条件」だと思いますが、定理9.11の証明を読み終わると§9を読了することになります。
これ以降は簡単だと予想します。
ガンマ関数のところを早く読みたいです。
49: 01/09(木)17:02 ID:+84tOBn+(3/3) AAS
基底と罵倒されてもめげない精神
50: 01/09(木)17:33 ID:6bCgcAx3(3/3) AAS
Iのp.279
「いま A およびすべての J'_p を含む有界閉区間 I の分割 Δ で各 J'_p のどの面もいくつかの I_k (k ∈ K(Δ)) の面の合併になるようなものを作る。」
↑簡単な話なのに、この言い方が分かりにくすぎます。
↓のようにするというだけのことを「文学的な表現」をしているので分かりにくくなっています。
J'_p = [a_1, b_1] × … × [a_n, b_n] とする。
I = I_1 × … × I_n とする。
I_1 の分割が a_1, b_1 を含む。
省2
51: 01/12(日)18:42 ID:yLPeo6eV(1/2) AAS
Iの定理10.1の証明についてですが、p.283に「(10.4)の左辺の極限が存在して、 (ξ_i, η_j) のとり方によらず J に等しいことを意味する。従って定理9.11によりこのとき、 f は A 上可積分で J = ∫∫_{A} f である。」と書かれています。
(10.4)の極限は d(Δ) → 0 のときの極限です。
本当は d(Δ') → 0 のときの極限が存在して、 J に等しいことを示さないといけないはずです。
52: 01/12(日)18:45 ID:yLPeo6eV(2/2) AAS
d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 であることは Φ が I 上で一様連続であることから分かります。
d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 であることを杉浦さんは示していません。
53: 01/14(火)15:31 ID:wAGmgpG8(1) AAS
477 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/14(火) 13:38:14.36 ID:CFti7dI6
杉浦光夫著『解析入門I』
I ⊂ R^n を直方体とする。
Φ : R^2 ∋ (r, θ) = (r * cos(θ), r * sin(θ)) ∈ R^2 とする。
A = Φ(I) とする。
f(x, y) を A 上可積分とする。
I の分割を Δ とする。
省19
54: 01/15(水)11:32 ID:Rq94sFo4(1) AAS
481 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/15(水) 10:54:34.32 ID:VrxcjIlV
478
あ、定理9.11により明らかですね。
55: 01/27(月)15:14 ID:8Kjbr8T1(1/4) AAS
杉浦光夫著『解析入門II』
p.7 「(√2/2, √2) で < 0」と書かれていますが、「(√3/2, √2) で < 0」が正しいですよね。
56: 01/27(月)15:18 ID:8Kjbr8T1(2/4) AAS
↑のような誤りはありますが、この例2は陰関数定理の証明の論法でレムニスケートの概形を描いていて、いい例だと思います。
凡人の教科書では、誰も思いつかないような素晴らしい例など書けるわけもないので、このような地道な例を書くと良いと思います。
57: 01/27(月)21:41 ID:8Kjbr8T1(3/4) AAS
例2は、
f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) とする；
曲線 f(x, y) = 0 の概形がどうなるのかを求めるという例ですが、
第一象限のみを考えて、 y = g(x) と解いたときに、 x = √3/2 で g'(x) = 0 になるのは分かります。
ですが、 g が (0, √3/2) で単調増加、 (√3/2, √2) で単調減少というのはこの流れでどうしたら分かるのでしょうか？
58: 01/27(月)21:41 ID:8Kjbr8T1(4/4) AAS
g はC^1級なので、中間値の定理から (0, √3/2) および (√3/2, √2) でそれぞれ定符号なのはすぐに分かります。
ですが、 g'(x) が (0, √3/2) で常に正、 (√3/2, √2) で常に負というのはどうして分かるのでしょうか？
59(1): 01/30(木)11:21 ID:pRf1K41k(1/9) AAS
杉浦光夫著『解析入門II』
↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？
U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定
(2.4) det f'(a) ≠ 0
をみたすとする。
省1
60(1): 01/30(木)11:22 ID:pRf1K41k(2/9) AAS
C^1 級関数 F : R^n × U → R^n を
(2.6) F(y, x) = f(x) - y
によって定義する。このとき
(2.7) F(b, a) = 0
である。さらに
省7
61(2): 01/30(木)17:58 ID:pRf1K41k(3/9) AAS
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
p.65 Theorem 8.2.
A を R^n の開集合とする。
f : A → R^n を C^r 級の関数とする。
B := f(A) とする。
f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。
62: 01/30(木)17:59 ID:pRf1K41k(4/9) AAS
この定理を使えば、
>>59
>>60
で述べた問題点を解決できます。
f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。
>>59
>>60
省1
63: 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(5/9) AAS
y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。
よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。
また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。
よって、
>>61
の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。
64: 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(6/9) AAS
x ∈ g(W) とする。
x = g(w) for some w ∈ W である。
g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。
よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。
この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。
65: 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(7/9) AAS
Munkresさんの本に載っている
>>61
の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。
杉浦さんって雑ですよね？
66: 01/30(木)18:03 ID:pRf1K41k(8/9) AAS
しかもこれは超重要な定理の証明の中での話です。
『解析入門I』の逆関数定理Iの証明でも昔のバージョンの本では論証に問題がありました。その後訂正されましたが。
67: 01/30(木)18:33 ID:pRf1K41k(9/9) AAS
なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。
「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。
68: 03/04(火)13:46 ID:ygAXjk14(1) AAS
あげ
69: 03/18(火)17:00 ID:w7Wevthr(1) AAS
アスペ上げ
70: 06/09(月)11:20 ID:FR1F6m2Y(1) AAS
（´・ɜ・）ノ
71: 06/12(木)22:46 ID:SRpUahbp(1) AAS
杉浦先生は、専門は解析だった？
72: 06/12(木)22:49 ID:1lUCohkQ(1) AAS
表現論かもしれない
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