対角線論法っておかしくね？ (136ﾚｽ)
上下前次1-新
1: 2024/12/19(木)00:38 ID:iR+lqifX(1) AAS
有限個の論理式で記述できない命題があることになるじゃん
56: 01/11(土)08:54 ID:WOeyxgDw(1) AAS
やはり、クラスは型と考えるのがすっきりする。
クラスの集まりはクラスの集合である。
クラスを集まりとした場合、同じクラスに属する元の集合である。
異なるクラスの元は集合にならない。
ただし、クラスの継承や複合も考える。
共変・反変・不変（非変）・双変や変性も考えたい。
集合ではなく型システム付きの集合で実数を考えなおす。
57: 01/12(日)09:03 ID:gthwsx4a(1/3) AAS
緻密であっても、それは連続ではない。
とりあえず、limによる連続関数が存在したとしても、
実数すべてで検証できるわけではない。
一様連続関数でも同じだ。
実際の論文ではどうなっているのだろう。疑問だ。
一様連続性でも、緻密であるとしかいえない。
そもそもδの連続性が証明に入っていないのではないだろうか？
省2
58: 01/12(日)09:09 ID:gthwsx4a(2/3) AAS
すなわち、数学的な（一様）連続性の証明は、
クラスが異なるものを混在させており、その部分について不十分のように感じられる。
パラドックスをかかえている可能性がある。（数学屋ではないのであしからず）
59: 01/12(日)10:57 ID:BGKU0JbP(1) AAS
>パラドックスをかかえている可能性がある。（数学屋ではないのであしからず）
数学と相いれない厳しい論理に慣れた立場では？
60: 01/12(日)14:11 ID:gthwsx4a(3/3) AAS
連続だけでは加算無限になるのではないかと思う。
一様連続ならいけそうだが、単純に極限やイプシロン-デルタの二重適用であり、
それで実数の連続性を扱うとパラドックスが生じるのではないかと考える。
まあ、パラドックスを発見しないと話にはならないが。
61: 01/12(日)14:46 ID:By1jwgYu(1) AAS
固有クラスは集合の集まりの中で「大きすぎるもの」
ここでいう「大きすぎるもの」とは、集合全体の集まりと同じ濃度のもの、という意味
ちなみに固有クラスの集まりは、もはや固有クラスですらない
これ、常識な
62: 01/13(月)12:08 ID:ntu2hVd/(1/2) AAS
完備かどうかの問題だった。
limもイプシロンデルタも最初から完備である全逓なので、
わたしの誤謬になる。
連続とか一様連続は実数の定義にはつかえない。最初から実数であることが前提だ。
クラスが異なった。
離散のクラスから連続のクラスへいたるには、完備であることが必要になる。
まず、完備でない集合上での極限やイプシロンデルタを考え、完備な集合上との対応にはなにが必要になるか、
省1
63: 01/13(月)12:11 ID:ntu2hVd/(2/2) AAS
全逓->前提。
4K x 2 にしたので、文字をもっと大きくしなくちゃだわ。
64: 01/13(月)15:37 ID:S0etnbV6(1/2) AAS
直方体の対角線論法ってある？
65: 01/13(月)17:31 ID:S0etnbV6(2/2) AAS
【全逓】
《「全逓信労働組合」の略称》昭和21年（1946）に逓信省職員の労働組合として結成された全逓信従業員組合の後身。
66: 01/15(水)01:34 ID:4yojs8D5(1) AAS
数学的対象を「数」とする立場と、自然数のみを「数」とする立場がある。（それ以外はとりあえず考えない）
無限を考えると、二重ループ以上では、扱いが難しい。
非標準なやりかたで一度、体系の外側から攻める必要がある。（不完全性定理？）
そもそも公理というものが非標準なのかもしれない。
型システムとしてのクラスを使用した公理システムが整備されるべきだと考える。（型付き圏論？ 型付き数学言語？）
67: 01/16(木)00:02 ID:jeEG3yhi(1) AAS
自然数のクラスと実数のクラス間で対応をとるためには、自然数のクラスが２つあれば十分なのか、２つあっても情報が足りないのか。
おそらく情報が足りていない。
この情報を構造と考えるなら、実数は離散数＋構造で構成できる。
構造も離散数とするならば３つの離散数で構成できる。ただし...決定不能性が...もう少し考えよう。
68: 01/18(土)09:48 ID:Ey8R3aB1(1/2) AAS
ある種の型システムを使えば、ラッセルやらカントールやらのパラドックスは構成可能なままに無矛盾に回避される。
集合の集合も集合として構成できるので、大きいとか小さいとかも圏論から除去できる。
異なるクラスを双変にするタイヒミュラー空間のようなものを作れればなんとかなるだろう。
そこにはタイヒミュラーあるいは望月あるいはプリゴジンの魔物が棲んでいる。ワグネルの反乱になってしまうかもしれないが。
数学の証明にエントロピーが入ることになるだろう（予想）。
69: 01/18(土)16:37 ID:Ey8R3aB1(2/2) AAS
単なる型ではないタイプのクラスは強力だ。数学を破壊しかねない。
問題は、量子宇宙にも同様のメカニズムがあるかどうかだ。
これを発見しなければならない。
おそらく、クオークもクラスだ。
なにものかが３つあれば、すべてを構築できるのではないか。なんらかの３つ組。
70: 01/20(月)22:12 ID:N4HREpqq(1/2) AAS
空のクラスは存在するのか。
ある種の型システムによって、真のクラスは存在しない、とする。
クラスは、集まりによって定義されるのだとすれば、
空集合のクラスは色のないクラスだ。
71: 01/20(月)22:53 ID:N4HREpqq(2/2) AAS
無限は存在しない、とする。
記述は有限だ。
数を比較するのではなく、数の公理システムを比較する。
72(1): 01/23(木)00:15 ID:RQMzRIlW(1) AAS
数学が、異なるものを同じとみなす技術である限り、
自然数と実数を同じとみなすことも可能だろうと思う。
型システムによって同型と準同型をシームレスに扱う方法があるのではないかと。
73: 01/23(木)08:22 ID:gsIjQBrb(1) AAS
>>72
ならcondensed math.がおすすめかもしれない
74: 01/24(金)07:09 ID:xN3QpiYZ(1/3) AAS
ありがとうございます。
75: 01/24(金)07:11 ID:xN3QpiYZ(2/3) AAS
ふう、やっと書き込めた。
液体ベクトル空間は、クラスのネットワークと考えています。
波が伝播しないといけませんしね。
76: 01/24(金)22:58 ID:xN3QpiYZ(3/3) AAS
やっとなにがおかしいのかわかってきた。
自然数は有限な数が無限にある。
これを無限な数が無限にあると実装してしまった。
最初から実数と同じ濃度だったわけだ。
非加算無限な自然数や整数。ペアノの公理をちょっといじればでてくるだろう。
実数と同じかどうかはさておいて、濃度は実数と同じだ。
おそらく、すでに名前がついていて、数学的対象として存在しているはずだ。
77: 01/25(土)23:10 ID:4E4w0gBm(1/2) AAS
ある種の型システムのクラスを組み込んだ集合論は、
内部集合論と整合性がとれるのかどうか。
内部集合は非標準な元を含む。
この場合、たとえば自然数という無限集合にはすべての元を含む有限部分集合が存在するらしい。
78: 01/25(土)23:39 ID:4E4w0gBm(2/2) AAS
と、ここで混乱してきた。
有限という用語が立場によっては無限を含む。
数学の用語はわかりにくい。
だいたい、自然数に非標準の最大（量）であるωを含めた集合は有限集合なのか無限集合なのか。
標準の自然数の集合は無限集合だけど、
非標準の自然数の集合は、要素が無限にあってもωがあるから有限集合のようだ。
ならば非標準な値を含むω進数あるいはアレフ進数がつくれる。
省1
79: 01/26(日)14:24 ID:a5V7ZknE(1/2) AAS
ωを非標準な数とすると、ω進数というのはおかしい。
非標準な場合、ωはその桁の最大（最小はω/1）であり、∞進数あるいはℵ進数がよいのかもしれないが、
誤解されなければω進数と呼ぶのが手ごろだ。
また、１進数を考えるなら、0（空位）と無（無記）も区別しなければならないだろう。
80: 01/26(日)17:57 ID:Cr0bdJy3(1) AAS
ま、ねぇー いかなる自然数Nについて
2^N = M となるMはモチロン存在するワケで
そりゃ、実数と整数は同じでかさなのだ。
1.41421356・・・を1000000・・・倍すりゃ
141421356・・・0 という整数になるぜ
ここで無限桁目はモチロン0
だって二乗すると
省9
81: 01/26(日)22:27 ID:a5V7ZknE(2/2) AAS
ω進数で考えると、実数といえども桁の階層を２つ使っているだけでは（真の）連続ではない。
真の実数が存在するとすれば、アレフワンなんていう濃度では足りないだろう。
ルート２やπなど、現在考えられているアレフワンの実数上には無いのかもしれない。
82: 01/27(月)22:54 ID:4jQv/6wg(1) AAS
やっと可算鎖条件から非可分空間でも直積位相を加えたものにたどりついた。
これなら、離散と連続を自然にマッピングできる。
実数を構成しているのは波だ。
83: 01/29(水)00:02 ID:hv/ronlR(1) AAS
集合の色としてクラスを与えると、選択公理は集合の集合における元としての集合の元の寄せ集めを扱う。
少なくとも、基本となる同じ色を持っているという公理だ。
ある種の型を持つクラスシステムは、選択公理必須かもしれない。
整列可能でなければクラスシステムはつくれないし、
整列から整列への変換が計算だし、
もしかして、クラスシステムと選択公理は等価（等価は数学用語ではない）か？
84: 01/30(木)08:53 ID:QuLZIzWr(1/2) AAS
ω進数を考えていたが、
先行する考えとしてp進数というものが存在していた。
p進数の議論の中にはωに言及しているものもあるようなので、
論文を探して調べてみたいものだ。
（pは基本的に素数だが、ωは非標準な最大量や無限遠方という違いがある）
85: 01/30(木)23:39 ID:QuLZIzWr(2/2) AAS
ZFC(Cは必須)で、置換公理をクラスの公理とみなすなら、
数はクラスとω変数と四則演算から構成することができる。
そんな気がしてきた。
とりあえず実装してみて問題点を探ってみようと思う。
圏論を数学的対象とすれば、それも構成可能かもしれない。
86: 02/01(土)10:43 ID:rMrnSNJC(1/2) AAS
対角線論法の集合版をみてみると、それはラッセルのパラドックスである。
X∉X
これを自己射を持たないと考えるなら、自己同一性を持たず、対象にはならないということになる。
X∈Xであることは、対象/存在として必須である。
ZFに必要なのは自己同一性の公理だろう。
そうすることで選択公理も自然に含まれることになると思う。
パラドックスや矛盾は、自己同一性の問題なのではないだろうか？
87: 02/01(土)10:49 ID:rMrnSNJC(2/2) AAS
自己同一性を観測すると波や粒子になり、
観測されないと量子（状態）になる。
哲学や数学は、自己同一性(/存在/認識)を巡る壮大な物語だ。
88: 02/02(日)12:52 ID:UGG2gNE5(1/4) AAS
空集合の公理から作り直す必要があるだろう。
UNIXのディレクトリ構造のように、それ自身を示す「.」や親を示す「..」は、必ず存在する。
（rootの場合、..は、存在しないか、.と同じか、あるいは...）
89: 02/02(日)18:04 ID:UGG2gNE5(2/4) AAS
自然数（整数・有理数）が有限な数の無限な集まり、だとすれば、
実数は何の集まりなのか？
無限な数の無限な集まり、とすれば、その集まりは加算無限になる。
有限な数の無限な集まりのさらに無限な集まりではアレフワンになる。
半端なアレフも不可能ではないと思う。
90: 02/02(日)20:11 ID:UGG2gNE5(3/4) AAS
加算じゃねーや可算だ。変換ミスってる。
91: 02/02(日)21:56 ID:UGG2gNE5(4/4) AAS
標準的な数学の枠組みから外れれば、可算濃度と連続体濃度の間ともいえる濃度が定義できてしまう。
クラスとクラス間の広義(/濫用)のタイヒミュラー空間があればよい。
量子論とクラスで数学の未解決問題はすべて解けそう/溶けそうな期待。
とりあえず、わたしの対角線論法の問題は完了。
92: 02/03(月)00:18 ID:MZJGI3Th(1) AAS
アホな妄想してないで
キチンと作れよ
93: 02/16(日)12:37 ID:h7kaTwsX(1/2) AAS
にしても、実数を集合とした場合、シリコン上に記述するのはむつかしい。
素朴クラス論を考える。
集合とは同じクラスに属するものの集まりである。としてしまう。
数学という宇宙が、無矛盾で滑らかであるとすれば、
整数と実数も滑らかにつなげることができるだろう。
数学とはそのような技術だ。
以前考えていた０の除算と草原の違いを調べていたら、滑らかなクラスのイメージがでてきたので考察中。
94: 02/16(日)15:28 ID:h11RscxA(1) AAS
テグマークのレベル4のマルチバース、数学的に無矛盾な宇宙は全て存在しているって考えは自然なものだと思うけど、最後の最後、なんでいつから宇宙は実在したの? って疑問は残るよね
完全な無があったとしたら、そこに数学的な原理を実現するための媒体すらないわけで
95: 02/16(日)23:22 ID:h7kaTwsX(2/2) AAS
前草原の定義をみていたら、
0⋅(x+y)=0⋅x⋅y だった。
当たり前のようだが、前草原では0x≠0である。
IUTいらないんじゃない？ 宇宙際じゃなくてクラス際でABC予想は、いけそうな気もする。
ただ、草原で、環の束を組み換えられるかどうかは知らん。
クラス際タイヒミュラー空間で遺伝子組み換え？
96: 02/17(月)14:08 ID:L8l/08H4(1) AAS
ちょっと勘違いした。
これは、classのbaseとなる定義のひとつで、defaultの定義だった。
ただたんにdefaultでは演算が潰れるということ。
草原は、環における（広義の/濫用の)（クラス際）タイヒミュラー空間のようだ。
97: 02/19(水)00:28 ID:P0hqbzck(1) AAS
草原って、多世界解釈のような体か？
0除算が入ると、どうも量子論っぽくなって来る。
98: 02/21(金)11:45 ID:S4NLoPPI(1) AAS
うむ
99: 02/24(月)01:08 ID:QEQKaDfg(1/2) AAS
数学も、無矛盾であるかぎりは（なにを保存するのかはさておいて）保存則を満たしている必要がある。
同じ濃度の対象間には（広義の/濫用の）タイヒミュラー空間がある/なければならない。
おそらく、異なる濃度であってもタイヒミュラー空間を置くことは可能だ。
量子論的なパズルになるだろう。数学は一度破壊して、量子論的に組み立てなおす必要がありそうだ。
0は0ではなく、x-xだ。大きさ、あるいは量子状態を持っている。
100: 02/24(月)23:54 ID:QEQKaDfg(2/2) AAS
x-xはx+(-x)であり、0は粒子と反粒子からなるのだ、と考えるのがおもしろい。
101: 02/25(火)00:13 ID:AEMEsyC6(1) AAS
無限集合が存在する、という公理を取り下げたらそのとたんに、可算無限も非可算無限も消えてなくなりそう。
102: 02/25(火)00:51 ID:fk0iOph9(1/2) AAS
無限集合も保存則を満たすしているべきであり、
なんらかの保存則を満たす枠組みのなかでしか集合になれない、と考える。
無限公理は空集合を扱うので保存則を満たしている。
自然数の集合も、保存則を満たしている。
103: 02/25(火)01:04 ID:fk0iOph9(2/2) AAS
「す」がひとつ余計に入ってしまった。これは...「鬆」だ。
超弦理論の泡なのか。マルチバースか。
草原はfoamなのかもしれない。輪はひとつの泡だ。
104: 02/25(火)11:15 ID:yDSE9PTE(1) AAS
命題全体は不可算個
対角線論法が使えるのは可算個
105: 02/27(木)09:26 ID:RO1DCX8K(1/2) AAS
0除算を解決しないと、可算無限と非加算無限をなめらかにつなげられないと考えて、
輪や草原に手を伸ばしたが、いまひとつだ。
数学も保存則に従う。そう考えて、0をブラックホールとみなしてブラックホール情報パラドックス、
すなわち量子論を使用するのがベターであろうということでやってみている。
0除算をなめらかに解決するための、情報の保存方法はできあがったのだが、
計算から保存へのなめらかさが足りない。
106: 02/27(木)09:44 ID:RO1DCX8K(2/2) AAS
0の乗算側はなめらかだが、0^-1の乗算（0除算）側がなめらかではない。
107: 02/27(木)12:06 ID:H/Ako3NW(1) AAS
堆肥村連呼の無内容さに大草原
108: 02/28(金)09:19 ID:vAwIR1dt(1) AAS
0をブラックホールとみなすならば、∞側はホワイトホールだ。
0を宇宙検閲官仮説によるものとすれば、∞側も検閲とは異なる方法で隔離されている。
censorの反対だからuncensoredではなくpublisherかpromotorになるだろう。
宇宙出版社仮説。
とりあえず、負の値など考えずに検閲官と出版社をつないでみる。
109: 03/01(土)00:52 ID:1BH20S5f(1/2) AAS
つないだら、おかしなことが起こった。
数全体の位相がシフトした感じ。
それはそうとして、N*0*0やN*0^-1*0^-1をどう解釈するか。
なめらかに対応させたい。
110: 03/01(土)21:55 ID:1BH20S5f(2/2) AAS
0^nを考えたら、以前考えたω進数と同じものになった。
とりあえず、0*0=0、0^-1*0^-1=0^-1として、それ以上増えないようにすると、
三元数のようなものができた。
0除算可能な体になっているかどうかは未検証だ。
111: 03/02(日)09:45 ID:G8T3Ppzl(1) AAS
三次元球面を回転させるには四元必要なのと同様に、
0除算のために二次元球面を扱うので三元必要となるのだと思います。
112: 03/03(月)23:39 ID:4jtIG8nd(1) AAS
0*0の情報も保存すると考えるなら、三次元球面となり、四元必要となるだろう。
分解型四元数かもしれない。
そうなってくると時間に相当するものもあらわれてくるかもしれない。
いや、数こそが時間に相当するものだろう。
これを並進対称性と考えるなら、それをうみだす超対称性構造があるのかもしれない。
113: 03/05(水)00:44 ID:BAF0rKb1(1) AAS
うーん、０除算を含めて実数を拡張するとアレフ無限になって、これが真の連続体濃度のような気がしてきた。
ω連続体とでもするならば、その濃度はアレフωだ。
ω進数を考えて、その上で0除算を定義してみた（数学的ではなく計算機科学的に）のだが、
さらにω進進数やω進進進数など無限に考えられて、さらにそれを取り込んだ進数も考えられて、留まるところがない。
超越連続体？
114: 03/08(土)01:10 ID:4BxFsH0d(1) AAS
点をいくら集めても、そのままでは緻密ではあるが連続体ではない。
実数（概念）そのものが、（広義の）タイヒミュラー空間を含んでいる。
実数（概念）は、無限の微分構造を定義しうるなんらかの四次元構造なのであろう。
実数はエキゾチックだ。
115: 03/19(水)00:13 ID:SvON/mC0(1) AAS
コーシー列の収束先がワイン・ボトル型ポテンシャルを持っていたら。
と、考えた。
デデキントの切断もポテンシャルで考えてみると、
実数というものは近似値であり、リアルではなくイマジナリーだ。
実数クラスは、大きさをもった紐として実装するのがよいのかもしれない。
116: 03/27(木)13:38 ID:giJ2yR1h(1/2) AAS
単位正方形の対角線の長さは近似値？イマジナリー？
117: 03/27(木)16:11 ID:LwB+2UTD(1) AAS
それはイマジナリであって、リアルではない。
リアルをあらわすのに実数を使用するということは近似にすぎないのではないか、
と考える数学者が何人かいる。
118: 03/27(木)17:00 ID:giJ2yR1h(2/2) AAS
つまり単位正方形はイマジナリであって、リアルではないってこと？
じゃあ何がリアルなの？
119: 03/28(金)00:31 ID:nF4Br82e(1) AAS
数学はリアルではなく想像上のもの。
120: 03/28(金)04:44 ID:hcnJjnZJ(1) AAS
宇宙もそう
121: 03/28(金)05:55 ID:uhwxXcOv(1) AAS
だから何がリアルなの？
122: 03/29(土)01:39 ID:gWSNP8tc(1/2) AAS
実数直線は実在しない。
123: 03/29(土)03:55 ID:ZhBpJWJz(1/3) AAS
何が実在するの？
124: 03/29(土)09:05 ID:1oVIyLGF(1/3) AAS
122にはその問いの意味が
理解できないだろう
125: 03/29(土)14:57 ID:ZhBpJWJz(2/3) AAS
「ZF公理系で存在可能な集合は実在する」ならば実数は実在する。直線上の点であって原点からの距離が実数であるようなもの全体の集合を実数直線とするなら実数直線も実在する。
実在の定義が不明なままで何がしかの実在性を論じても無意味なだけ。
126: 03/29(土)20:10 ID:gWSNP8tc(2/2) AAS
それは数学的実在のほうですね。
実際の実在というものを考えると数学的実在は近似にすぎないのではないか、
というのが（わたしではなく）、リーマンなどの数学者たちが抱える疑念。
127: 03/29(土)21:32 ID:ZhBpJWJz(3/3) AAS
実際の実在って何？
何は実際に実在するの？
128: 03/29(土)23:19 ID:1oVIyLGF(2/3) AAS
実際の実在ではなく
実在する実際
129: 03/29(土)23:19 ID:1oVIyLGF(3/3) AAS
実際の実在ではなく
実在する実際
130: 03/30(日)07:11 ID:e8bpbGjG(1) AAS
その数学者の、数学的実在ではない主観的な客観的実在というのが正確かな。
一般的には物理学的（客観的）実在。
131: 03/30(日)10:25 ID:FUJ0A+Kn(1) AAS
客観的な主観的実在が現実であろう
132: 03/30(日)11:09 ID:mIbpJ09b(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コペンハーゲン解釈では、ベルの不等式の破れをある種の実在性の否定ととらえ、測定前の物理量は実在しないと解釈する。ただし測定前の物理量が存在しないにもかかわらず、EPR相関のように、どこかで測定を行うと、そこから遠く離れた場所の物理量も確定するという非局所性が存在する
133: 04/24(木)16:10 ID:6HG7LcYh(1) AAS
自分が存在しなくてもこの世は有るのか、それとも自分が存在しなくなればこの世も
無いのか、などと考えたことはないだろうか？
134: 04/24(木)17:44 ID:Fck+Zdga(1) AAS
哲学板へどうぞ
135: 05/25(日)15:17 ID:VDrW4/yA(1) AAS
１桁ごとに2^n増えていくにも関わらず対角線論法するおかしさを欧米数学者は気づかなかったのか。欧米人は九九どころか引き算もできないのに高等数学も、へったくれもない。
136: 05/27(火)18:37 ID:QldHiLh8(1) AAS
通常の計算機やチューリングマシンのモデルでは、可算無限の記憶を持つが、
もしもこれを、非可算無限の記憶を持てるように拡張したら、どれだけ能力が
上がるだろうか？
たとえば普通なら、aを配列として、配列の添字としては自然数nをとり
a[n]の形で配列の要素を参照するわけだが、
それをcを配列として、配列の添え字として実数xを許して
c[x]の形での配列要素の参照を可能とする。ここで実数ｘとは
省1
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