ガロアの逆問題を完全に解決した (40ﾚｽ)
上下前次1-新
1(1): 2024/12/11(水)21:36 ID:Ih9cdYrl(1) AAS
補題:
任意の有限群は、あるnに対してn次対称群Snの部分群である。
証明:
Gを有限群、nをGの位数とする。
GのG自身への作用を(g, x) → gxで定めると、群準同型φ: G → Snが得られる。
φは単射なので、GはSnの部分群。 □
nを自然数、X1, ..., Xnを不定元、s1, ..., snをX1, ..., Xnの基本対称式とする。
省7
2: 2024/12/11(水)22:17 ID:d8Rz/mmo(1) AAS
任意の有限群Gに対して、
Gを自己同型群に持つような閉リーマン面が存在する。
3(1): 2024/12/11(水)22:28 ID:0EsEGZJ5(1) AAS
よくある角の三等分完全解決！みたいなやつか
4: 2024/12/11(水)22:34 ID:1UMWTkcq(1) AAS
>>3
cos(3θ) = 4(cosθ)^3 - 3cosθ なのでできない！解決！
5(1): 2024/12/12(木)08:21 ID:O4Z7ltrk(1) AAS
>>1
＞任意の有限群Gに対して、Gをガロア群にもつ体の拡大が存在する。
ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、
全ての有限群が『有理数体 Qの』ガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、
ガロア理論の問題である。
『』の箇所を任意の体に置き換えたら成り立つのは、ガロア理論の基本定理から明らか
ガロア理論の基本定理
省3
6(1): 2024/12/12(木)15:22 ID:VBe5nRks(1) AAS
>>5
任意の群がガロア群に現れることは？
7(2): 2024/12/12(木)17:01 ID:R3vxeGMj(1) AAS
>>6
基礎体は常にQですか？QではなくL^Gal(L/M)でしょ
じゃ、ガロアの逆問題の解決ではないな（完）
8(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/12(木)20:59 ID:yWcUUMF0(1) AAS
>>7
ホイヨ
ちゃんと、最低限 ja.wikipediaとen.wikipediaとは
見ておきましょうね ｗ ；ｐ）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C
ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体
Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。
省14
9(1): 2024/12/13(金)07:27 ID:Mc7lHYYE(1) AAS
有限単純群だけについても示せれば凄いんだが。具体例（多項式の係数）を書くのは無理っぽいが。
10: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/13(金)07:52 ID:q1rprzz/(1/2) AAS
>>8 補足
>Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。
ここな
『19世紀初期にはじめて提起された』の部分
下記 en.wikipediaの”first posed in the early 19th century,[1] is unsolved”の丸写しらしいが
下記の ガロア理論の 歴史を見ると、
・ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に （第一論文を書いて）
省19
11(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/13(金)08:01 ID:q1rprzz/(2/2) AAS
>>9
>有限単純群だけについても示せれば凄いんだが。具体例（多項式の係数）を書くのは無理っぽいが。
そこは詳しくないですが
脱線しますが
ベールイの定理 （Belyi's theorem）がありまして（下記）
『ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている』
らしい
省16
12: 2024/12/13(金)10:20 ID:I0vIqqpA(1) AAS
>>8
＞ホイヨ
また現代数学童貞がガロア理論の基本定理も理解できない分際でガロアの逆問題とか語りだしたか
検索しか能がない●ルが何を言おうが無意味
13(2): 2024/12/13(金)13:30 ID:+aIhJ8z7(1) AAS
>>7
>『』の箇所を任意の体に置き換えたら成り立つのは、ガロア理論の基本定理から明らか
任意の群がガロア群として現れるのは明らかではないと思うが
14(1): 2024/12/13(金)14:04 ID:4qaWHamy(1) AAS
>>13
任意の有限群が対称群の部分群として現れることは1で述べられている
あとは、ガロア理論の基本定理を理解しているなら明らか
明らかでないなら、君がガロア理論を理解できてないってこと
15(1): 2024/12/13(金)17:44 ID:/WwhyaLe(1) AAS
>>14
じゃあ、「ガロアの基本定理から明らか」は間違いだったってことだね？
16: 2024/12/13(金)18:30 ID:MKnc0fb8(1) AAS
>>15
いや、君が●違いだったってこと
17: 2024/12/13(金)18:37 ID:qM6L4lnd(1) AAS
自分の間違いを認められないのは心の弱さの証明
18(1): 2024/12/13(金)18:54 ID:9kiqpV5W(1/2) AAS
ガロア理論の基本定理は
任意の群がガロア群として現れることとは別だと思われるが
19: 2024/12/13(金)20:35 ID:IICqUMpV(1/4) AAS
>>18
別というかすぐ出るから
20(1): 2024/12/13(金)20:35 ID:IICqUMpV(2/4) AAS
>>13
明らかだと思うけどね
21(1): 2024/12/13(金)22:03 ID:9kiqpV5W(2/2) AAS
>>20
明らかと思うのは自由だが
＞ガロア理論の基本定理から明らか
これに違和感を覚えるのは自然ではなかろうか
22: 2024/12/13(金)23:29 ID:IICqUMpV(3/4) AAS
>>21
なんで？部分群と部分体との1体1対応を示してるのが基本定理よ？
23: 2024/12/13(金)23:31 ID:IICqUMpV(4/4) AAS
ああもしか
・有限群は全て対称群の部分群
・ガロア群が対称群である体の拡大が存在
も必要とするからって？
簡単だからもちろんそれは前提の上で
一番の要は基本定理でしょ
24: 2024/12/14(土)01:02 ID:uyPb+8af(1/4) AAS
あるいは「任意の体」がおかしいって？
そりゃそうだよ任意の体で成り立つならQで成り立つから
ここの言いたいことは「体を適当に選べば」ということだと認識すべきでしょ
「任意の体」と書いたことを咎めるつもりならそう指摘すれば良いこと
25(1): 2024/12/14(土)05:52 ID:gDg0SRkK(1/3) AAS
任意の有限群は対称群の正規部分群になり得るか？
これが解ければいいのか
26: 2024/12/14(土)07:25 ID:gDg0SRkK(2/3) AAS
nが十分大ならn次交代群は単純だから意味ないか
27: 2024/12/14(土)07:34 ID:YVD+z0ty(1/3) AAS
>>25
正規部分群である必要ないけど
ガロア理論の基本定理 理解してないね
28(2): 2024/12/14(土)07:36 ID:YVD+z0ty(2/3) AAS
ガロア理論の基本定理
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
「L と K の中間体 M」 と 「Gal(L/K) の部分群 H」 について次の式が成立つ。
M=L^Gal(L/M),H=Gal(L/L^H).
だから、基礎体がQじゃなくてもいいなら、任意の有限群をガロア群とするガロア拡大が存在する
ただ、それは、ガロアの逆問題の解決でもなんでもないけど
29(1): 2024/12/14(土)07:48 ID:gDg0SRkK(3/3) AAS
>>28
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
L と K の中間体は一般にKのガロア拡大とは言えない。
30: 2024/12/14(土)11:51 ID:uyPb+8af(2/4) AAS
>>29
それは当たり前のことで
ここでは
>>28
>H=Gal(L/L^H).
が主眼なんですよ
31: 2024/12/14(土)11:59 ID:6ue0HZB/(1) AAS
>>11
>そこから、望月氏が ”復元”（まさにガロアの逆問題）を考えて遠アーベルに適用して、IUT理論を作ったという・・
コピペ荒らしさん、
普通の数学のBelyi's theoremと遠アーベル幾何
復元を経由し、、奇異な世界IUTへ逝ったんでしょ
32(1): 2024/12/14(土)16:05 ID:YVD+z0ty(3/3) AAS
任意の有限群は対称群の部分群 である一方
任意の有限群が対称群を正規部分群で割った剰余群として実現できる なんて
都合のいいことはいえない
だから基礎体をQに固定しているガロアの逆問題はそう簡単に解決できない
33: 2024/12/14(土)16:48 ID:uyPb+8af(3/4) AAS
>>32
>任意の有限群が対称群を正規部分群で割った剰余群として実現できる なんて
>都合のいいことはいえない
簡単な群で対称群から全射つまり対称群の作用がないのって
なんかないかな
34(2): 2024/12/14(土)18:48 ID:iVYx7sVY(1) AAS
PSL(2,7)
35: 2024/12/14(土)21:10 ID:uyPb+8af(4/4) AAS
>>34
π:Σn→>PSL(2,7):epicがないことはすぐ出ますか？
結構大変？
36(1): 2024/12/14(土)22:12 ID:CBZJVLGF(1) AAS
>>34
ふうむ
(参考)
groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2)
Projective special linear group:PSL(3,2)
Definition
This group is defined in many equivalent ways:
省16
37: 2024/12/15(日)08:12 ID:kG3JrngK(1) AAS
>>36
正則行列も分からん高卒には無理だから諦めろ
英語が読めたからといって数学が分かるとはいえん
38: 2024/12/28(土)18:33 ID:b8LzAV4/(1) AAS
任意の有限群を与えたときにそれをガロア群として持つ
有理係数の（整数係数でも同じ）代数方程式（多項式＝0）が存在するか。
有限群が対称群や交代群だと答えはYES。巡回群だと答えはYES。
アーベル群でもYES。しかし群にはいろいろある。単純群だけに
限っても答えの方程式を与える方法があると良いね。
39: 01/01(水)18:07 ID:ZJQ9IpcS(1) AAS
可解群でもYES。
40: 02/10(月)02:38 ID:xsE4fYth(1) AAS
多項式の係数体を代数閉体（たとえばC）にしてまうと、定数ならざる任意のｎ次多項式は1次因子に完全分解されてまうから、
常に既約でなくなる。あるいは多項式が既約で無い場合にも拡張されたガロア群、を考えるとしても、
その場合にはガロア群は恒等要素を持つだけの自明群にしかならないので、与えられた任意の有限群Gを表すことはできない。
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