ガロアの逆問題を完全に解決した

ガロアの逆問題を完全に解決した (40ﾚｽ)
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8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/12(木) 20:59:50.91 ID:yWcUUMF0

>>7
ホイヨ
ちゃんと、最低限 ja.wikipediaとen.wikipediaとは
見ておきましょうね ｗ ；ｐ）

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%81%AE%E9%80%86%E5%95%8F%E9%A1%8C
ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、全ての有限群が有理数体
Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。

部分的な結果
この問題に関して詳細な研究が多くなされているが一般的には解かれていない。いくつかは射影直線のガロア被覆（英語版）として幾何学的に G を構成する方法に基づいている。代数的な言葉で言えば、不定元 t の 有理関数体
Q(t) の拡大体をまず考えることに相当する。この拡大体が得られれば、ヒルベルトの既約性定理（英語版） によりガロア群を保つように t を特殊化できる。

次数が16以下の全ての置換群は、
Q上実現可能であることが知られている[4]。 次数が17の群 PSL(2,16):2 については知られていない[5]。

PSL(2,25) (位数 7800) よりも小さい、全ての13個の非可換単純群については、
Q 上実現可能であることが知られている[6]。

en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
Inverse Galois problem

Partial results
All permutation groups of degree 16 or less are known to be realizable over
Q;[4] the group PSL(2,16):2 of degree 17 may not be.[5]

All 13 non-abelian simple groups smaller than PSL(2,25) (order 7800) are known to be realizable over
Q.[6]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733920614/8

10: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/13(金) 07:52:27.84 ID:q1rprzz/

>>8 補足
>Q のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された[1]未解決問題である。

ここな
『19世紀初期にはじめて提起された』の部分
下記 en.wikipediaの”first posed in the early 19th century,[1] is unsolved”の丸写しらしいが
下記の ガロア理論の 歴史を見ると、
・ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に （第一論文を書いて）
・1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載した[1]
・デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]
・カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである
・1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Körper）と名づけた

という流れだから
どう考えても、”in the early 19th century”は、筆が滑っているよね ；ｐ）
せいぜい 19世紀後半か 20世紀に入ってからか でしょｗ

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Inverse_Galois_problem
In Galois theory, the inverse Galois problem concerns whether or not every finite group appears as the Galois group of some Galois extension of the rational numbers
Q.
This problem, first posed in the early 19th century,[1] is unsolved.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論
1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来

逆問題
与えられた方程式（あるいは体のガロア拡大）のガロア群を求める問題を "ガロアの順問題"、与えられた群をガロア群としてもつ方程式（あるいは体の拡大）を具体的に構成する問題を "ガロアの逆問題" と呼ぶことがある

歴史
ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。その後、1846年になって、リウヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載した[1]ことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[2]。そのとき、デデキントはガロアの理論を「ガロア理論」（独: Galois-Theorie）と名づけた[3]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。1871年にデデキントは四則演算で閉じた（数の）集合を「体」（独: Körper）と名づけた。また、デデキントとウェーバー（英語版）は1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733920614/10

11: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/13(金) 08:01:36.71 ID:q1rprzz/

>>9
>有限単純群だけについても示せれば凄いんだが。具体例（多項式の係数）を書くのは無理っぽいが。

そこは詳しくないですが
脱線しますが
ベールイの定理 （Belyi's theorem）がありまして（下記）
『ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている』
らしい

で、ベールイの定理に触発されて、
『当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった』

そこから、望月氏が ”復元”（まさにガロアの逆問題）を考えて
遠アーベルに適用して、IUT理論を作ったという・・
（下記の星裕一郎「遠アーベル幾何学の進展」『数学』第74巻第1号、2022年）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ベールイの定理（ベールイのていり、英: Belyi's theorem）とは、代数的数を係数として定義された任意の非特異代数曲線 C は、リーマン球面上3点のみで分岐する分岐被覆となるようなコンパクト・リーマン面であるという定理である。

この定理はゲンナジー・ウラジーミロヴィチ・ベールイ（英語版）によって1979年に証明された。 当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった。

人名のBelyi（露: Белый）はベールイとカナ表記されることもあれば[1]、数学の文献においてベリーとカナ表記されることもある[2]。

応用
ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている。

出典
2^ 星裕一郎「遠アーベル幾何学の進展」『数学』第74巻第1号、2022年、1–30頁、doi:10.11429/sugaku.0741001。

https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi%27s_theorem
Belyi's theorem

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733920614/11

36: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/14(土) 22:12:44.02 ID:CBZJVLGF

>>34
ふうむ

(参考)
groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2)
Projective special linear group:PSL(3,2)
Definition
This group is defined in many equivalent ways:

1.It is the projective special linear group of degree three over the field of two elements, i.e., PSL(3,2).
2.It is the special linear group of degree three over the field of two elements, i.e., SL(3,2).
3.It is the projective general linear group of degree three over the field of two elements, i.e., PGL(3,2).
4.It is the general linear group of degree three over the field of two elements, i.e., GL(3,2).
5.It is the projective special linear group of degree two over the field of seven elements, i.e., PSL(2,7).
6.It is the conformal automorphism group of the Klein quartic surface, which is a Riemann surface and in particular a Hurwitz surface. Hence, this group is a Hurwitz group, and is in fact the unique Hurwitz group of smallest order.

Equivalence of definitions
The equivalence between definitions (1)-(4) follows from isomorphism between linear groups over field:F2.

groupprops.subwiki.org/wiki/Alternating_group:A6
Alternating group:A6
Definition
The alternating group
A6 is defined in the following equivalent ways:

It is the group of even permutations (viz., the alternating group) on six elements.
It is the projective special linear group
PSL(2,9), i.e., the projective special linear group of degree two over field:F9.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733920614/36

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