ベクトル束ってなんの役に立つの？ (102ﾚｽ)

ベクトル束ってなんの役に立つの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733712092/

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79: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 10:05:52.17 ID:egri6DUI 微分可能多様体では各点における接空間が基本的で重要 各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル 接バンドルの一般化がベクトルバンドル ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類 多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M 接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733712092/79

80: １３２人目の素数さん [sage] 2025/07/27(日) 11:31:56.77 ID:egri6DUI (1) M=Rⁿの時、TMは積多様体Rⁿ×Rⁿと同一視出来る (2) MがRⁿの部分多様体の時、 TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、 v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ (3) 一般の場合 多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ 接ベクトルv∈T𝔭Uに対して φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ 写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ φ~は1対1上への対応 各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)} (U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式 座標変換が全てC^∞級となる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1733712092/80

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