なんで定義から直ちに従わないものがあるの？

[過去ﾛｸﾞ] なんで定義から直ちに従わないものがあるの？ (28ﾚｽ)
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21: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/28(木) 10:43:22.34 ID:XCAq3thN

>>1
>なんで定義から直ちに従わないものがあるの？
>たとえば、Sn = 1^(-2) + 2^(-2) + 3^(-2) + ... + n^(-2) の極限を求めることを考える
>Snの一般項が多項式とかで表せて、n→∞とすれば極限値が直ちに出てくるわけではない
>フーリエ級数とか、三角関数の無限積展開とか、別の道具が必要になる
>なぜだ？

横レスすまん
１）素朴な疑問で、疑問を持つことは悪くないが
　それ、下記 バーゼル問題で、オイラーの解法 で (π^2)/6であることは、既知とする
２）Snが”収束することの証明”は、比較的簡単らしい（下記）
　だから、S∞＝ζ(2)と書いて放置しておいても良い。実数であることだけなら、それで終わり
　ζ(s)で、sが奇数の場合は、多くはこれ
３）ところが、それが(π^2)/6 という円周率πとの関連をつけようとすると
　オイラーの解法のように、「sin x のマクローリン展開」などが必要に
　フーリエ解析を用いた解法もあるらしい
４）戻ると 上記は素朴な疑問で、疑問を持つことは悪くない
　昔、ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究から、
　「そもそも実数とは何か？」
　という問題に踏み込んで、いまの集合論が出来上がったという
　150年くらい前の話で
　集合論が完成するのに100年くらい、多数の数学者が努力した
５） 素朴な疑問（大体は解決済み）を自力解決しようとするのは
　悪くないが
　たいてい「車輪の再発明」ということだ
　だから、過去の数学事例を知るが優先される
　その上で、未解決問題（オープン問題）をやりたい人はやればいい
　（リーマン予想とか）

勉強が進めば分かってくる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%8A%E8%BC%AA%E3%81%AE%E5%86%8D%E7%99%BA%E6%98%8E
車輪の再発明
車輪の再発明（しゃりんのさいはつめい、英: reinventing the wheel）とは、「広く受け入れられ確立されている技術や解決法を（知らずに、または意図的に無視して）再び一から作ること」を指すための慣用句

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
バーゼル問題（バーゼルもんだい、英: Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。ヤコブ・ベルヌーイやレオンハルト・オイラーなどバーゼル出身の数学者がこの問題に取り組んだことからこの名前で呼ばれる。

概説
1644年にピエトロ・メンゴリ（イタリア語版、ドイツ語版）が「平方数の逆数全ての和は収束するか？仮に収束するとしてそれは幾らの数値に収束するか？」という問題を提起した。この問題は何人もの数学者が解決に挑み、中でもヤコブ・ベルヌーイは1689年にこの問題について取り組んだものの解決には至らなかった。

ベルヌーイに学んだレオンハルト・オイラーは、1735年にこの問題を平方数に限らず、自然数の偶数乗の逆数和について一般化した形式で解決した。ベルンハルト・リーマンはそのアイディアを取り入れることでゼータ関数を定義し、その性質を調べることに繋がった（1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」）。

収束することの証明
略す

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1732456508/21

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