a, b > 0, a + b = 1のとき, (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2 (9ﾚｽ)
上下前次1-新

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1: 2024/11/12(火)22:41 ID:/9ZG+FHx(1) AAS
を示せ。

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2: 2024/11/12(火)22:42 ID:dp1I3IHm(1/2) AAS
働けウンコ製造機

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3: 2024/11/12(火)22:47 ID:E96R/j8j(1) AAS
凸

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4(1): 2024/11/12(火)22:49 ID:5SPgqrtt(1/2) AAS
コーシー・シュワルツの不等式より

(1^2 + 1^2)((a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2)
≥ (a + 1/a + b + 1/b)^2
= ((a + b) + (a + b)/ab)^2
= (1 + 1/a(1 - a))^2 (∵ a + b = 1)

a, 1 - a > 0より、相加平均・相乗平均の不等式より

(a + (1 - a))/2 ≥ √a(1 - a)
省5

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5: 2024/11/12(火)22:56 ID:5SPgqrtt(2/2) AAS
f(x) = x^2とする
y = f(x)のグラフは下に凸なので、

(f(a + 1/a) + f(b + 1/b))/2
≥ f((a + 1/a + b + 1/b)/2)
= f((1 + 1/a(1 - a))/2)

∴ (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ (1 + 1/a(1 - a))^2/2

>>4の後半から、1 + 1/a(1 - a) ≥ 5
省1

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6: 2024/11/12(火)23:16 ID:JEOOlv8a(1) AAS
曲面 z=f(x, y)=(x+1/x)^2+(y+1/y)^2を想起して
z≥f(1/2, 1/2)=25/4+25/4=25/2

この曲面はうちの大学(東大)では1年で学習する。

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7: 2024/11/12(火)23:20 ID:dp1I3IHm(2/2) AAS
うちの大学(東大)では1年で学習する。

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8: 2024/11/14(木)23:32 ID:uM4HU+lj(1) AAS
x²+2+1/x² = 凸+const+凸

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9: 04/27(日)19:58 ID:Bi/7R3mT(1) AAS
良スレ保守

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上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

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ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

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ぬこの手 ぬこTOP 0.162s*