a, b > 0, a + b = 1のとき, (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ 25/2 (9レス)
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4(1): 2024/11/12(火)22:49 ID:5SPgqrtt(1/2) AAS
コーシー・シュワルツの不等式より
(1^2 + 1^2)((a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2)
≥ (a + 1/a + b + 1/b)^2
= ((a + b) + (a + b)/ab)^2
= (1 + 1/a(1 - a))^2 (∵ a + b = 1)
a, 1 - a > 0より、相加平均・相乗平均の不等式より
(a + (1 - a))/2 ≥ √a(1 - a)
省5
5: 2024/11/12(火)22:56 ID:5SPgqrtt(2/2) AAS
f(x) = x^2とする
y = f(x)のグラフは下に凸なので、
(f(a + 1/a) + f(b + 1/b))/2
≥ f((a + 1/a + b + 1/b)/2)
= f((1 + 1/a(1 - a))/2)
∴ (a + 1/a)^2 + (b + 1/b)^2 ≥ (1 + 1/a(1 - a))^2/2
>>4の後半から、1 + 1/a(1 - a) ≥ 5
省1
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