数学の面白い話して (69ﾚｽ)
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32(1): 2024/08/21(水)10:22 ID:KCB7zAah(1/2) AAS
『数–その意外な表情』という本の中に次 の逸話があります。
ラマヌジャンが入院していた時, 友人ハー ディが見舞いに訪れた。ハーディは乗ってきた タクシーのナンバーは 1729 であり, あまり味の ない数だとラマヌジャンに告げた。ラマヌジャ ンはそれを聞くや否や,1729 は決して面白くな い数ではない。なぜならそれは二つの立方数の 和として二通りに表せる最小の数だから, と答 えた。
1729 = 9^3 +10^3 = 1^3 +12^3 ですが、これを もとにして
(9+x)^3 +(10+y)^3 = (1+x)^3 +(12+y)^3 という方程式を立てて整理すれば
243x+27x^2+300y+30y^2 = 3x+3x^2+432y+36y^2
という 2 次方程式が得られ、これが (0,0) とい う特殊解を持つことから、ピタゴラス数の場合 と同様に無限個の解を持つことが従います。
参考文献 数–その意外な表情 M. ラインズ著 片山孝次訳 岩波書店.
33: 2024/08/21(水)11:01 ID:KCB7zAah(2/2) AAS
円理の研究における初期の課題の一つは、円周率のよい近似を与える分数を求めることでした。関は正$2^{15}, 2^{16},2^{17}$角形の周長の計算を行い、その計算結果をもとにして$355/113$を導きました\footnote{詳しくは[1]などを参照.}。この方法を建部兄弟が効率化することにより円理が進展しました。まず、円に内接する正$2^n$角形の周長$\sigma_n$についてですが、$2^{17}$までの計算結果から一定の正確さでその先の結果を推定できます。具体的には、関は$\sigma_n$の階差数列を用いた式\begin{equation}\frac{(\sigma_{16}-\sigma_{15})(\sigma_{17}-\sigma_{16})}{(\sigma_{16}-\sigma_{15})-(\sigma_{17}-\sigma_{16})}\end{equation}を用いて$\pi=3.14159265359\cdots$を得ました。ちなみにこれは今日エイトキン\footnote{A. C. Aitkin, 1895-1967. ニュージーランドの数学者.}法と呼ばれるものと同等です。
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