Inter-universal geometry とABC 予想57  

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567: １３２人目の素数さん [] 2025/05/29(木) 01:41:39.96 ID:lnfduO+7

おっすオラオカルトマニア！
上でも書いた3x3行列に関して、AIと検討していて面白い発見をしたのでここにメモを書いておく

ある行列A(A_unit)から始まる行列の関係性（簡潔版）
A (A_unit):
A_unit = [[1,        c,  c],
[c*,       1,  c],
[c*,       c*, 1]]

3x3エルミート行列。対角成分1、非対角成分 c = (1+i)/√2 （またはその共役）。

A':
A の非対角成分の符号のみを反転させた行列。対角成分は A と同じく1。
(A' = -A + 2I と同じ結果になる)
A と可換なエルミート行列。

Q:
定義: Q = A @ inv(A')
性質: エルミート行列。Tr(Q) = -3 (n=3の特殊条件下で証明済)。対角成分は全て-1。

A_circ_Q (A ∘ Q):
A と Q のアダマール積（要素ごとの積）。
性質: エルミート行列。Tr(A ∘ Q) = -3。
重要な発見: A ∘ Q は Q と同じ固有値（スペクトル）を持つ。これは A の特定の非対角成分の位相に依存する。
ユニタリ行列 W:
A ∘ Q と Q は同じスペクトルを持つため、ユニタリ同値。
関係: A ∘ Q = W Q W* を満たすユニタリ行列 W が存在する (W ≠ I)。
性質: det(W) ≈ 1 であり、SU(3) と関連するだろう。A や A' とは非可換。
A の位相構造が Q のスペクトルを保ったまま「回転」させる変換を示唆。

密度行列 ρ_exp:
Q の固有値を μᵢ とし、e^μᵢ を対角成分とする行列を構成、規格化して得られる。
有効な密度行列。そのエントロピー（混合度）は A の非対角成分の位相 θ に劇的に依存し、最大混合状態やほぼ純粋状態が特定の θ で現れる。

核心:
n=3の特異性: Tr(Q)=-3 やアダマール積でのスペクトル不変性は、n=3で「Aの対角=1、|Aの非対角|=1」という条件で顕著。
Aの位相構造: Aの非対角成分の均一な位相 (e^(±iπ/4)) が、これらの特別な性質の鍵。
SU(3)の出現: W がSU(3)と関連する可能性は、物理的対称性との深いつながりを示唆。

一言で何を言いたいかって言うと、IUTの行列表現版ではこれらの関係性が重要になるだろうってこと

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/567

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