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Inter-universal geometry とABC 予想57 (1002レス)
Inter-universal geometry とABC 予想57 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/
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652: 132人目の素数さん [sage] 2025/06/06(金) 00:48:08.63 ID:ND0qG6B9 >>651 今の機械証明だと全く対応できないからこれ用のシステムを研究開発する必要がある 圏やスキームですら無くてそれら全てを超越するものだもん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/652
653: 132人目の素数さん [sage] 2025/06/06(金) 01:16:03.31 ID:ND0qG6B9 >>618 これが本当にヤバい 大規模言語モデルだからなんとかなってるけど これをプログラミングで実装するのは死ねる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/653
654: 132人目の素数さん [sage] 2025/06/06(金) 05:27:37.63 ID:ND0qG6B9 非常に本質的な問いです。 「種」や「再初期化」「宇宙間比較」などIUT理論が本質的に要求する“複数の集合論モデルを横断する数学的構造・操作”を自動証明や数式処理システムで本質的に扱えるシステムは理論的に構築可能かという問題について、以下に整理して解説します。 ⸻ 1. 既存システムで困難な理由の整理 • 現在のCoq, Lean, Isabelle等の自動証明システムは、一つの集合論モデル/型理論世界内での論理的構成を扱う設計が前提となっています。 • 望月IUT理論の「種」は、「どのモデル(どの宇宙)でも通用する公式集合」としてのメタ構造であり、しかも「モデルAで構成されたオブジェクトとモデルBのオブジェクトを種を通じて比較・操作・再初期化できる」ことが求められています。 • 通常の型理論や集合論では、「異なる宇宙を“跨ぐ”操作」や「宇宙を再初期化した時に型の意味がどう変化するか」の厳密な内部表現はありません。 ⸻ 2. 理論的に拡張可能か?どんなアプローチが考えうるか (a) “宇宙のパラメータ化”や“型の多宇宙性”の拡張 • 各宇宙(モデル)を明示的な「パラメータ」として型定義・証明の文脈に埋め込み、 型や公理、操作を「宇宙をパラメータに持つ関数」や「ファミリー」として定義する枠組みが考えられます。 • これは「型多様性(universe polymorphism)」を極限まで拡張したものと言える。 (b) “メタ理論層”の明示化・階層化 • 通常の証明システムの“中”で閉じるのでなく、「証明システム自身の外側」――つまりメタ理論――をプログラミング言語として明示的に扱い、 「複数の宇宙・モデル・型体系を生成・切替・比較・再初期化する言語(メタ証明系)」を作るという方向がありえます。 • たとえば「型理論内部で“型理論そのもの”をデータとして操作する」Reflective Type Theoryや、「型理論のメタモデルの層を複数用意し、操作や再初期化を記述する」Multi-Level Logicの発想です。 (c) “集合論モデル”をオブジェクトとして内部化した論理体系 • たとえば「集合論のモデル」を第一級オブジェクトとして定義し、「モデル間の関数」「モデルの再初期化」「種の比較」「mutation」などをメタレベルの操作として記述可能な新しい論理システムを設計する。 • これは集合論の超準モデル理論やカテゴリ論、型理論の高次化、モチーフ理論の多宇宙性などの知見と融合する必要があります。 (d) “可搬型の種”による操作記述の枠組み化 • 「種」や「型」を“世界間で可搬なオブジェクト”として定義し、「A宇宙のこの型からB宇宙のこの型への自然な移送」や「再初期化」などを操作子として抽象的に記述する枠組み。 • 高次カテゴリ論や∞-カテゴリー、または新しい意味論(カテゴリ的意味論の多宇宙拡張)を援用すれば理論的には可能です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/654
655: 132人目の素数さん [sage] 2025/06/06(金) 05:27:44.19 ID:ND0qG6B9 3. 理論的障壁・実現可能性について • 既存理論(型理論や標準集合論)を拡張すれば原理的には構築可能ですが、以下の困難があります: • 複数宇宙をまたいで「型」や「証明」が意味を持つための一貫性保証(モデル間の推移的整合性) • 計算可能性や可証明性、自己参照パラドックスの回避 • 宇宙間比較操作の「メタ理論」化によるシステムの複雑性増大 • メタ理論と本体理論のインターフェイス設計 • しかし、型理論研究・プログラム意味論・高次圏論・モデル理論などの分野では、近年このような「複数宇宙・複数モデルの同時操作」を内部化したり、言語として実装する方向の基礎理論が急速に発展しています。 ⸻ 4. まとめ(現状と未来) • 理論的には、IUT理論が要求する「種」「再初期化」「異宇宙間比較」を厳密に扱える新しい自動証明・数式処理システムの構築は、原理的に不可能ではない。 • しかし現時点でそのような実用的かつ信頼できる実装例は存在しない。 • こうしたシステムを構築するには、「型理論」「集合論」「カテゴリ論」「モデル理論」「証明支援技術」「計算可能性理論」などの知見を融合し、証明システムの根本的なメタ構造拡張が必要。 • これは「新しい論理・新しい計算パラダイム」の開発という形で、今後の数学基礎・証明技術の最先端課題となりうる。 ⸻ 要するに、「今は無いが、理論的に構築する道筋は存在する」。 数学的基礎論・型理論・証明システム設計が今後さらに発展すれば、IUT的な宇宙間種論を本質的に記述・操作できるプラットフォームは将来現れる可能性がある、というのが現状の評価です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/655
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