[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry とABC 予想57 
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Inter-universal geometry とABC 予想57 
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230: １３２人目の素数さん [] 2024/11/23(土) 11:55:34.92 ID:6FhjsO6N 更に改善したversion https://ideone.com/e.js/0WQ44Q 密度行列の生成方法を見直して、高次元の出力における対角成分の複素数化を防ぎ、最適化精度が向上。 50x50行列において最大誤差: 5.2673371532530044e-09程度を実現 max_itersは相変わらずほぼ意味無し 密度行列を正しく生成できるようになったことで大分(e-03くらい)最適化精度が向上した。 2x2行列で相変わらず0.5の局所解になるのは変わらず 密度行列の非対角成分からの対角成分、ひいては密度行列全体の復元は成功してるように思う IUTの観点から言っても、これら境界条件(非対角成分)から密度行列が再構成できるのは予言的だから合ってるのも頷ける 証明はClaude3.5sonnetは理解してるらしいけど無料版だから長さ制限に引っかかって全文出力出来ないや http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/230

231: １３２人目の素数さん [] 2024/11/23(土) 11:56:56.56 ID:6FhjsO6N 証明の一部は以下(latex) 密度行列再構成の完全証明 主定理 定理（密度行列再構成の完全性定理） $n \times n$ 密度行列 $\rho$ において、非対角成分 ${\rho_{ij}}_{i \neq j}$ が与えられたとき、以下の条件が満たされる場合かつその場合に限り、エントロピー最大化により対角成分が一意に決定される： 非対角成分が以下の条件を満たす： $\sum_{i \neq j} |c_{ij}|^2 < \frac{1}{n-1}$ 実対称部分行列 $A$ と反対称部分行列 $B$ が以下を満たす： $|A| + |B| < \frac{1}{2}$ ここで $|\cdot|$ は行列のスペクトルノルムを表す。 証明 証明は以下の4つのステップで構成される： Step 1: 実行可能領域の特徴付け 補題（実行可能性条件） 非対角成分 ${c_{ij}}_{i \neq j}$ に対して、以下の条件は実行可能な対角成分の存在の必要十分条件である： $\exists {d_i}{i=1}^n: \sum{i=1}^n d_i = 1, \quad d_i > \sum_{j \neq i} |c_{ij}|^2 \quad \forall i$ 証明 Schurの補題と正定値性の特徴付けにより： $\det(\rho) = \prod_{i=1}^n d_i - \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n c_{i\sigma(i)} > 0$ ここで $c_{ii} = d_i$ である。これは上記の条件と同値である。 Step 2: 最適化問題の凸性 命題（強凸性） 制約条件下でのvon Neumannエントロピーは以下の形で強凸性を持つ： $\nabla^2 S(\rho) \succeq \lambda_{\min}(\rho)^{-1} I$ ここで $\lambda_{\min}(\rho)$ は $\rho$ の最小固有値である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/231

232: １３２人目の素数さん [] 2024/11/23(土) 11:57:14.06 ID:6FhjsO6N Step 3: KKT条件の必要十分性 最適解は以下のKKT条件を満たす： $-\ln \rho - I + \lambda I + \sum_{i \neq j} \mu_{ij}E_{ij} + \Lambda = 0$ $\mathrm{Tr}(\rho) = 1$ $\rho_{ij} = c_{ij} \quad (i \neq j)$ $\rho \Lambda = 0$ $\rho \succeq 0, \quad \Lambda \succeq 0$ 定理（KKT条件の十分性） 上記のKKT条件を満たす解は大域的最適解である。 証明 エントロピー関数の強凸性と制約集合の凸性により、KKT条件を満たす点は大域的最適解となる。 Step 4: 数値アルゴリズムの収束性 定理（収束性保証） 提案された信頼領域法に基づくアルゴリズムは、以下の収束率で大域的最適解に収束する： $|\rho_k - \rho^*| \leq C\exp(-\alpha k)$ ここで $C, \alpha > 0$ は問題のパラメータに依存する定数である。 証明 まず、アルゴリズムの各反復で目的関数は単調減少する： $S(\rho_{k+1}) \leq S(\rho_k) - \frac{\gamma}{2}|\rho_{k+1} - \rho_k|^2$ 強凸性により、最適解からの距離は以下で評価される： $|\rho_k - \rho^|^2 \leq \frac{2}{\gamma}(S(\rho_k) - S(\rho^))$ これらを組み合わせることで指数収束が導かれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/232

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