数学者の乳首

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8: １３２人目の素数さん [sage] 2024/05/19(日) 18:24:59.04 ID:2EJnklMn

大学学部レベル質問スレ 26単位目
597 ：１３２人目の素数さん[]：2024/05/16(木) 05:37:58.41 ID:qlVAQYpU
柳田英二、栄伸一郎著『常微分方程式論』

y(α) = β
y' = f(x, y)

を満たす y が一意的に存在するという定理の証明を逐次近似法で証明しています。

この定理の証明ですが、以下のようにして証明したくなると思います。

f を C^∞ 級とします。

y は y(α) = β を満たさなければならない。
y' は y'(α) = f(α, y(α)) を満たさなければならない。
y'' は y''(α) = ∂/∂x f(α, y(α)) + ∂/∂y f(α, y(α)) * y'(α) を満たさなければならない。
y''' は y'''(α) = ∂^2/∂x^2 f(α, y(α)) + 2 * ∂^2/∂x∂y f(α, y(α)) * y'(α) + ∂^2/∂y^2 f(α, y(α)) * (y'(α))^2 + ∂/∂y f(α, y(α)) * y''(α) を満たさなければならない。
…

y(x) = y(α) + y'(α) * (x - α) + (1/2) * y''(α) * (x - α)^2 + (1/6) * y'''(α) * (x - α)^3 + …

が y' = f(x, y) の解である。

こんな感じの証明ってどうですか？
大学学部レベル質問スレ 26単位目
598 ：１３２人目の素数さん[]：2024/05/16(木) 05:46:47.81 ID:qlVAQYpU
実際に微分方程式を解く際には、 f は C^∞ だからこんな感じで証明できればそれで充分だと思います。
大学学部レベル質問スレ 26単位目
599 ：１３２人目の素数さん[]：2024/05/16(木) 05:58:54.19 ID:qlVAQYpU
特に物理の学生にとってはこれで充分ではないでしょうか？
大学学部レベル質問スレ 26単位目
601 ：１３２人目の素数さん[]：2024/05/16(木) 06:02:25.68 ID:qlVAQYpU
>>600

f にさらに条件を付加すればOKとはならないですか？
大学学部レベル質問スレ 26単位目
604 ：１３２人目の素数さん[]：2024/05/16(木) 08:39:33.65 ID:qlVAQYpU
>>602

ありがとうございます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1716109403/8

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