基礎論者「ゲーデルの不完全性定理は間違った解説が多い」←どうでもよくね？

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241: １３２人目の素数さん [sage] 2024/05/23(木) 14:39:15.35 ID:57Sqch+C

>>237
知ったかぶり

### 形式的体系の公理が矛盾を導かないことは無矛盾性と言えるか？

**無矛盾性**（Consistency）とは、形式的な公理体系において、矛盾する命題を同時に証明できない性質を指します。形式的体系の公理が矛盾を導かないことは、無矛盾性を意味します。具体的には、ある体系が無矛盾であるとは、その体系内で「命題 P」とその否定「命題 ￢P」の両方が同時に証明されないことを意味します。これは、その体系に矛盾が存在しないことを保証します。

### 原文の引用と和訳

以下に、ゲーデルの論文から無矛盾性に関する部分を引用し、その和訳を示します：

原文:
"Da man die Überlegungen, welche zu Satz X führen, (für jedes spezielle F) auch innerhalb des Systems P durchführen kann, so ist die Äquivalenz zwischen einem Satz der Form (x)F(x)(F rekursiv ) und der Erfüllbarkeit der entsprechenden Formel des e. F. in P beweisbar und daher folgt aus der Unentscheidbarkeit des einen die des anderen womit Satz IX bewiesen ist."

和訳:
「命題 X に導く考察（各特定の F の場合）を体系 P 内でも実行できるため、形式 (x)F(x)（F は再帰的）と e. F. の対応する公式の充足可能性との間の同値性が証明可能であり、したがって、一方の決定不能性から他方の決定不能性が導かれる。これにより命題 IX が証明される。」 [oai_citation:1,goedel.pdf](file-service://file-o0Q89qFjqg4iaVfiNA5goEkB)。

この記述は、形式的体系が無矛盾であることを示すための一つの証明方法を示しています。無矛盾性は、形式体系が自己矛盾に陥らないことを保証し、その体系内で一貫した論理が維持されることを意味します。

以上の説明により、形式的体系の公理が矛盾を導かないことは、その体系が無矛盾であることを示すものであり、無矛盾性の定義に合致します。

www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1715891446/241

272: １３２人目の素数さん [sage] 2024/05/23(木) 18:15:42.76 ID:xmhLxi+v

>>237
無能

以下は、"Gödel complete"が使われている部分の英語引用文とその和訳です。

### 英語引用文
I define an algorithmic inferential system as one in which all the inferential functions have intuitively effective syntactic recognition procedures. A first-order language which is Gödel-complete is one where the semantic implication function for the sentences of that language is coextensive with an intuitively effective syntactic recognition inference procedure. A higher-order language, with a model theory (an interpretation), according to which its syntactic deduction rules are Gödel-complete (Henkin models, as they’re called), also has a semantic implication function that’s coextensive with an intuitively effective syntactic recognition procedure. A higher-order language, however, which (relative to what’s described as “standard model theory”) is Gödel-incomplete, is one where the implication relation lacks any intuitively effective recognition procedure, let alone a syntactic one.

### 和訳
アルゴリズム的推論システムとは、全ての推論機能が直感的に有効な構文認識手続きを持つシステムと定義する。Gödel完全である一階言語とは、その言語の文に対する意味的含意関数が直感的に有効な構文認識推論手続きと共延長であるものである。モデル理論（解釈）を持つ高階言語は、その構文的推論規則がGödel完全（Henkinモデルと呼ばれる）であり、意味的含意関数も直感的に有効な構文認識手続きと共延長である。一方、「標準モデル理論」として記述されているものに対してGödel不完全である高階言語は、その含意関係が直感的に有効な認識手続きを全く持たず、構文的手続きもないものである。

引用元: Azzouni, J. (2023). "The Algorithmic-Device View of Informal Rigorous Mathematical Proof."

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1715891446/272

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