Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71

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166: １３２人目の素数さん [] 2024/04/26(金) 11:51:30.44 ID:em70EpiX

>>159
Rank (linear algebra)
「任意のリング上の行列に対するランクの概念にはさまざまな一般化があり、行列の列ランク、行ランク、列空間の次元、行空間の次元は他のものと異なる場合や存在しない場合があります。」
だって
知らなかったな
けど、数学科オチコボレさんも、全く無知だったみたいだね
恥ずかしいやつだなｗ　；ｐ）
まあ、抽象代数学壊滅だからね。”リング上”と言われたら、”プロレスか！”とか叫びそうだね 彼はｗｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra)
Rank (linear algebra)

Generalization
There are different generalizations of the concept of rank to matrices over arbitrary rings, where column rank, row rank, dimension of column space, and dimension of row space of a matrix may be different from the others or may not exist.
Thinking of matrices as tensors, the tensor rank generalizes to arbitrary tensors; for tensors of order greater than 2 (matrices are order 2 tensors), rank is very hard to compute, unlike for matrices.
There is a notion of rank for smooth maps between smooth manifolds. It is equal to the linear rank of the derivative.
（google訳）
一般化
任意のリング上の行列に対するランクの概念にはさまざまな一般化があり、行列の列ランク、行ランク、列空間の次元、行空間の次元は他のものと異なる場合や存在しない場合があります。
行列をテンソルとして考えると、テンソルランクは任意のテンソルに一般化されます。 2 より大きい次数のテンソル (行列は次数 2 のテンソル) の場合、行列の場合とは異なり、ランクを計算するのは非常に困難です。
滑らかな多様体間の滑らかなマップにはランクの概念があります。これは導関数の線形ランクに等しくなります。

Matrices as tensors
Matrix rank should not be confused with tensor order, which is called tensor rank. Tensor order is the number of indices required to write a tensor, and thus matrices all have tensor order 2. More precisely, matrices are tensors of type (1,1), having one row index and one column index, also called covariant order 1 and contravariant order 1; see Tensor (intrinsic definition) for details.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/166

168: １３２人目の素数さん [] 2024/04/26(金) 16:55:56.07 ID:em70EpiX

検索結果、下記ご参考

(参考)
検索キーワード：Generalization Rank (linear algebra) the concept of rank to matrices ove
https://www.google.com/search?as_q=Generalization+Rank+%28linear+algebra%29+the+concept+of+rank+to+matrices+over+arbitrary+rings+pdf&as_epq=&as_oq=&as_eq=&as_nlo=&as_nhi=&lr=&cr=&as_qdr=all&as_sitesearch=&as_occt=any&as_filetype=&tbs=

１）
Generalized Inverses of Matrices Over Commutative Rings
ScienceDirect.com
https://www.sciencedirect.com › article › pii › pdf › pid=...
KM Prasad 著 · 1994 · 被引用数: 30 — A Rao-regular matrix and the Rao idempotent of a matrix over a commutative ring are defined. We prove that a matrix A over a commutative

２）
Linear algebra over commutative rings
ResearchGate
https://www.researchgate.net › 445...
... matrix' is folklore and cannot be generalized to the class of matrices over an arbitrary commutative ring. The `determinantal rank' defined by the size of ...

３）
Rank of a matrix over a ring? - linear algebra
Mathematics Stack Exchange
https://math.stackexchange.com › r...
2021/05/17 — Note in the latest edition of his book (2018), it seems he has stated the definitions of rank for matrices over arbitrary unitary rings R (p.
necessary and sufficient condition for trivial kernel of a matrix ...
2011年10月11日
Rows of a matrix over an arbitrary ring - Math Stack Exchange
2017年4月14日
math.stackexchange.com からの検索結果

https://math.stackexchange.com/questions/4141364/rank-of-a-matrix-over-a-ring
Rank of a matrix over a ring?
asked May 17, 2021 at 0:07
blargoner

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/168

170: １３２人目の素数さん [] 2024/04/26(金) 18:32:29.70 ID:em70EpiX

検索キーワード：環上の行列 ランク pdf

１）下記の琉球大学工学部 システム工学I 第10回 環上の線形代数がヒット
　最近は、こんなことを教えるんだｗ
２）別に、代数学II：環と加群 松本眞1 平成30年4月9日 1広島大学理学研究科
　単因子論で、”Mn,m(R)でn×mのR成分の行列の集合をあらわす。ランクnmの自由R加群となる”とある
　参考文献、「代数学II環上の加群」桂利行著か。なるほど
(参考)
https://www.google.com/search?as_q=%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97+%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF+pdf&as_epq=&as_oq=&as_eq=&as_nlo=&as_nhi=&lr=&cr=&as_qdr=all&as_sitesearch=&as_occt=any&as_filetype=&tbs=

http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/
琉球大学工学部 電気システム工学コース 半塲 滋
システム工学I 2016 20180415
http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p10.pdf
システム工学I 第10回 半塲 滋
環上の線形代数
P45-46
多項式行列(32)
rank(A1(x) A2(x))
mが任意のxについて成り立つから、そのSmith
標準形の階数はxに依存しないから・・
(引用終り)

という記述がある
何を言っているのか、つまみ食いではさっぱりですが
環上の線形代数でも、特殊なケース（Smith標準形？）で行列
のrank（or 階数）を考えることができるようですね
なお、環上でない 普通のrank（or 階数）は
第9回 で扱われています http://dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp/DOCS/Sys01/p09.pdf

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/m-mat/TEACH/kan-kagun6.pdf
代数学II：環と加群 松本眞1 平成30 年4月9日 1広島大学理学研究科
第1章 環上の加群
参考文献• 「代数学II環上の加群」桂利行著　東京大学出版会:入手しやすい。おおむねこれに沿って講義する。以下、「参考書」といったらこれを指す。
Ｐ９
1.4 単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でn×mのR成分の行列の集合をあらわす。ランクnmの自由R加群となる。n =mのとき、Mn(R)で表す。積が入り、単位環となる。その積に関する（モノイドの）可逆元の集合Mn(R)× は群をなす。これをGLn(R)で表す。A∈Mn(R) がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。このような行列を可逆行列という。
P10
RをPIDとする。任意のA∈Mm,n(R)に対し、あるP ∈GLm(R)とQ∈GLn(R)が存在して、PAQが次の形になる。
略 (1.2)
ここに、空白は0をあらわし、e1|e2, e2|e3,..., es−1|es, es= 0である。Aに対してe1,...,esは単元（すなわちR×の元）倍を除いて一意に決まる。e1,...,esをAの単因子（elementary divisor）という。(1.2) をAの単因子形という。(不変因子形という書物もある。)上の形だと正方行列っぽく見えるが実はm×n行列であることと、右下の0は存在しないかもしれないこと、s=0(すなわち０行列)のこともあることを注意しておく。
Rが体のときには、線形代数でならっていると思う: eiは全て1にとることができ、sが行列のランクとなる。
まず、定理の前半（P,Qの存在）を証明する。RがEuclid整域の場合証明から計算方法がわかるので、一般のPIDでなくRがEuclid整域の場合をまずやる。R=ZやK[t]（Kは体）が代表的である。これらの環における互除法については既知とする。３種の基本変形行列を用いる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/170

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