Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71

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152: １３２人目の素数さん [] 2024/04/25(木) 16:53:13.13 ID:G15DoGGk

>>131
>「n×n行列A の階数が n であるときそのときに限り、Aは逆行列をもつ」

en.wikipediaではInvertible_matrix
「リング上にはランクの概念が存在しない」
となっているね

https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix
Invertible matrix

While the most common case is that of matrices over the real or complex numbers, all these definitions can be given for matrices over any algebraic structure equipped with addition and multiplication (i.e. rings). However, in the case of a ring being commutative, the condition for a square matrix to be invertible is that its determinant is invertible in the ring, which in general is a stricter requirement than it being nonzero. For a noncommutative ring, the usual determinant is not defined. The conditions for existence of left-inverse or right-inverse are more complicated, since a notion of rank does not exist over rings.

The set of n × n invertible matrices together with the operation of matrix multiplication and entries from ring R form a group, the general linear group of degree n, denoted GLn(R).

(google訳)
最も一般的なケースは実数または複素数上の行列ですが、これらすべての定義は、加算と乗算を備えた任意の代数構造(すなわち、リング)上の行列に与えることができます。ただし、環が可換である場合、正方行列が可逆であるための条件は、その行列式が環内で可逆であることです。これは一般に、非ゼロであることよりも厳しい要件です。非可換環の場合、通常の行列式は定義されません。
リング上にはランクの概念が存在しないため、左反転または右反転の存在条件はさらに複雑になります。

n × nの可逆行列のセットと行列乗算の演算およびリングRからのエントリは、GL n ( R )で示される次数nの一般線形群であるグループを形成します。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/152

153: １３２人目の素数さん [] 2024/04/25(木) 17:34:35.56 ID:G15DoGGk

>>152
>en.wikipediaではInvertible_matrix
>「リング上にはランクの概念が存在しない」

なるほど なるほど
de.wikipedia Reguläre Matrix では
ランクの概念が ”Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen）”において
出てこないね

ふむふむ　；ｐ）
独語は、ドイツ留学の御大の出番かも

なお、独Reguläre Matrix、英Invertible matrix が、各国の数学用語で
正則行列はドイツ流ですな

(参考) （独原文は略す）
https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix
Reguläre Matrix
(google 独→英訳)
Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen）
Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？)
More general is one (n×n)-Matrix  A with entries from a commutative ring with one
R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:

・There is a matrix B with  AB=I=BA.
・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ).
・For all b ∈ R^{n} there is exactly one solution  x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b.
・For all b ∈ R^{n} there is  at least one solution  x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b.
・The row vectors form a basis of  R^{n}.
・Generate the row vectors R^{n}.
・The column vectors form a basis of R^{n}.
・Create the column vectors R^{n}.
・By A linear mapping described R^{n} → R^{n},x→ Ax, is surjective (or even bijective ).
・The transposed matrix A^{T} is invertible.

With a singular (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R none of the above conditions are met.
The essential difference here compared to the case of a body is that, in general, the injectivity of a linear mapping no longer results in its surjectivity (and thus its bijectivity), as in the simple example
Z →Z, x→ 2x shows.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/153

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