Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71

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200: １３２人目の素数さん [] 2024/04/28(日) 09:07:29.67 ID:Agzcnutl

>>196
>余因子行列で言えることに気づかなかった？そりゃ残念

１）余因子行列ごとき、いまどき中高一貫の中学生や高校生で知っている常識でしょ？ｗ
２）下記に書いてあるよｗｗ
３）君と、何年も前に 最初に正則行列の論争をしたときに、私は逆行列の構成に余因子行列をつかえることを書いた
　まあ、君は覚えていないだろうが、書いた方は覚えているんだよ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
正則行列（英: regular matrix）、非特異行列（英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。
性質
n 次正則行列 A、B について次が成り立つ。
・A の余因子行列を ~A とおくと A^−1 = |A|^−1 ~A

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97
余因子行列
定義
可換環 R 上の n次正方行列 A = (ai,j) の余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
小行列式
（余因子から転送）
数学の線型代数学において、行列 A の小行列式（しょうぎょうれつしき、英: minor, minor determinant）とは、A から1列以上の行または列を除いて得られる小さい正方行列の行列式のことである。
正方行列から行と列をただ1つずつ取り除いて得られる小行列式（first minors; 第一小行列式）は行列の余因子 (cofactor) を計算するのに必要で、これは正方行列の行列式や逆行列の計算に有用である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/200

207: １３２人目の素数さん [] 2024/04/28(日) 20:19:46.46 ID:Agzcnutl

>>205-206
なかなか良いことをいうね
が、口だけ達者だな

いま、行列の成分が可換環Rの元とする
正方行列の場合は、行列式を意識するのが良いんだよ
（これは、いまどき高校でも常識かも）
１）いま、下記”det(AB)=det(A)det(B)”を考えよう
　つまり、二つの正方行列A,Bの積ABの行列式det(AB)は、二つの行列式の積det(A)det(B)ってこと
　これが、ポイントです
　|AB|=|A||B|という書式も覚えておこうね（以下はこの表記を使う）
２）さて、いまAが逆行列Bを持つとしよう
　AB=Eだ ここに、Eは単位行列
　|AB|=|A||B|=|E|=1となる(ここに、|A|と|B|は可換環の成分とする)
　つまり、|A||B|=1に左から逆元|A|^1をかけると（|A|が逆元|A|^1を持つことはすぐ分るが簡便のため略す（下記と関連している））
　|B|=|A|^1 ここまではすぐ分る
３）さて、|A|が零因子だとする
　これを|A|=aとしよう
　この場合は、|A|の逆元は存在しないから、|AB|=|A||B|=a|B|=|E|=1 という式が成立しない
（証明：いま可換環で考えていることを再度注意しておく。aが零因子とすると、b'a=0かつb'≠0なるb'が存在する（下記）
　さてa|B|=1が成立つとする。左からb'を掛けると左辺はb'a|B|=0|B|=0,右辺はb'1=b',よって0=b'で矛盾が導かれる。背理法でa|B|=1は不成立！）

つまり、余因子行列の公式で考えるのも悪くはない（多様な考え方を知っておくのは悪くない）が
しかし、本質は”det(AB)=det(A)det(B)”から自然に
>>141 「行列式が可逆であることが
逆行列を持つことと同値なことは
こういう一般的な形で覚えておくと
気持ちがよい」が導かれるってことだよ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている
行列式の性質
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
・det(E)=1
・det(AB)=det(A)det(B)
・det(A^-1)=det(A)^-1
・det(A^T)=(A)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
環の零因子とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である または非零因子と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子または非自明な零因子と呼ばれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/207

210: １３２人目の素数さん [] 2024/04/28(日) 23:04:10.10 ID:Agzcnutl

>>208-209
ほほう
頑張るね 落ちこぼれさんが

>君は行列Ａが逆元を持てば行列式det(Ａ)も逆元を持つことしか示せてない

まあね。しかし、「行列式det(Ａ)が逆元を持つこと」ことが本質なんだよ（下記の通りだ）
(参考) >>153より再録
https://de.wikipedia.org/wiki/Regul%C3%A4re_Matrix
Reguläre Matrix
(google 独→英訳)
Equivalent characterizations （Äquivalente Charakterisierungen）
Regular matrices over a unitären kommutativen Ring(単位元を持つ可換環？)
More general is one (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one
R invertible if and only if one of the following equivalent conditions is met:
・There is a matrix B with AB=I=BA.
・The determinant of A is a unit in R (one also speaks of a unimodular matrix ).
・For all b ∈ R^{n} there is exactly one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b.
・For all b ∈ R^{n} there is at least one solution x∈ R^{n} of the linear system of equations Ax=b.
・The row vectors form a basis of R^{n}.
・Generate the row vectors R^{n}.
・The column vectors form a basis of R^{n}.
・Create the column vectors R^{n}.
・By A linear mapping described R^{n} → R^{n},x→ Ax, is surjective (or even bijective ).
・The transposed matrix A^{T} is invertible.
With a singular (n×n)-Matrix A with entries from a commutative ring with one R none of the above conditions are met.
The essential difference here compared to the case of a body is that, in general, the injectivity of a linear mapping no longer results in its surjectivity (and thus its bijectivity), as in the simple example
Z →Z, x→ 2x shows.

>ついでにいうと３）のdet(Ａ)が零因子ならばは不要
>整数環なら1と-1以外は逆元を持たない

環論では零因子は、常に意識しておく必要がある
|A||B|=1で、|A|が逆元|B|=|A|^1を持つことが要求されるので、整数環は除外される

>さて行列式det(Ａ)が逆元を持てば行列Ａが持つことの証明だが、ここで余因子行列が出てくる

余因子行列が一つの手段で分かり易いのは認めるが
余因子行列は必須ではないだろう。"One of them!"だね
上記のde.wikipedia Reguläre Matrixを100回音読してねｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/210

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