Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71

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207: １３２人目の素数さん [] 2024/04/28(日) 20:19:46.46 ID:Agzcnutl

>>205-206
なかなか良いことをいうね
が、口だけ達者だな

いま、行列の成分が可換環Rの元とする
正方行列の場合は、行列式を意識するのが良いんだよ
（これは、いまどき高校でも常識かも）
１）いま、下記”det(AB)=det(A)det(B)”を考えよう
　つまり、二つの正方行列A,Bの積ABの行列式det(AB)は、二つの行列式の積det(A)det(B)ってこと
　これが、ポイントです
　|AB|=|A||B|という書式も覚えておこうね（以下はこの表記を使う）
２）さて、いまAが逆行列Bを持つとしよう
　AB=Eだ ここに、Eは単位行列
　|AB|=|A||B|=|E|=1となる(ここに、|A|と|B|は可換環の成分とする)
　つまり、|A||B|=1に左から逆元|A|^1をかけると（|A|が逆元|A|^1を持つことはすぐ分るが簡便のため略す（下記と関連している））
　|B|=|A|^1 ここまではすぐ分る
３）さて、|A|が零因子だとする
　これを|A|=aとしよう
　この場合は、|A|の逆元は存在しないから、|AB|=|A||B|=a|B|=|E|=1 という式が成立しない
（証明：いま可換環で考えていることを再度注意しておく。aが零因子とすると、b'a=0かつb'≠0なるb'が存在する（下記）
　さてa|B|=1が成立つとする。左からb'を掛けると左辺はb'a|B|=0|B|=0,右辺はb'1=b',よって0=b'で矛盾が導かれる。背理法でa|B|=1は不成立！）

つまり、余因子行列の公式で考えるのも悪くはない（多様な考え方を知っておくのは悪くない）が
しかし、本質は”det(AB)=det(A)det(B)”から自然に
>>141 「行列式が可逆であることが
逆行列を持つことと同値なことは
こういう一般的な形で覚えておくと
気持ちがよい」が導かれるってことだよ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
行列式とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている
行列式の性質
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
・det(E)=1
・det(AB)=det(A)det(B)
・det(A^-1)=det(A)^-1
・det(A^T)=(A)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97
単位行列とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
環の零因子とは、環の乗法において、
零以外の元と掛けたのに零となるような積が、少なくとも一つ存在する
ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である または非零因子と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子または非自明な零因子と呼ばれる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1713536729/207

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